USP probabilidade P2 2017
A taxa de ocorrência de crimes em um bairro é de crimes/hora (todos os tempos nessa questão são medidos em hora). A distribuição do número de crimes emum período de tempo é Poisson com parâmetro . A variável aleatória contínua é o instante em que ocorre o primeiro crime a partir do instante , Qual a probabilidade do evento ?.
Passo 1
Fala pessoal. Beleza? Vamos para mais uma questão. Como sempre, antes de sairmos calculando as coisas precisamos saber o que queremos calcular e as informações passadas no enunciado.
Temos que:
- Seja o número de crimes em horas
Queremos calcular a probabilidade do evento , isto é a probabilidade do primeiro crime ocorrer antes do tempo
Passo 2
Agora podemos começar a resolver a questão. Vamos olhar com calma o conjunto . Quais são seus elementos? É o conjunto cujos elementos representem o fato de ocorrer pelo menos um crime antes do tempo . Mas esse conjunto é gigantesco, então não seria prático trabalhar com ele para achar a probabilidade de . Como será que contornamos esse problema?
Vale lembrar que
Agora ficou mais fácil de ver como contornar o problema. Iremos usar o conjunto complementar.
O complementar de ocorrer pelo menos um crime em é não ocorrer nenhum crime em
Passo 3
Agora vamos calcular a probabilidade de não ocorrer nenhum crime em
Seja o número de crimes em
Logo, a probabilidade de interesse é:
Essa probabilidade te parece familiar? Parece, né? Pois essa é a função de distribuição (acumulada) de uma exponencial. Esse resultado nos diz que o tempo de espera entre o acontecimento de duas observações de uma distribuição Poisson tem distribuição exponencial. Muito legal, não acha?