Uma empresa faz transporte de material por meio de caminhões e o volume de encomendas que ela recebe oscila ao longo do tempo. Admita que, escolhendo ao acaso um dia de trabalho:
• O número de entregas a serem feitas segue uma distribuição de Poisson com média de 5 entregas/dia;
• A empresa pode contratar, por empreitada, trabalhadores autônomos que constam de uma lista de 6 nomes. Todos eles tem a mesma chance de virem a ser contratados para servir à empresa naquele dia, e há independência entre as decisões de se contratar ou não relativas aos diversos trabalhadores da lista;
• O número de caminhões usados para realizar os serviços naquele dia pode ser igual a: 1 (com probabilidade 0,15), 2 (com probabilidade 0,60), ou 3 (com probabilidade 0,25).
Pergunta-se:
(a) Qual é a probabilidade de que nesse dia sejam feitas no máximo 4 entregas, dado que ocorrerão pelo menos 3 entregas?
Passo 1
a)
Vamos começar criando uma v.a. para representar o número de entregas do dia:
E sabemos que essas entregas seguem uma distribuição Poisson com média 5:
E o que o item pede é a probabilidade de que no dia sejam feitas no máximo 4 entregas (), dado que ocorrerão pelo menos 3 entregas (), ou seja, uma probabilidade condicional! Escrevendo na fórmula da condiconal temos:
Mas pensa comigo, qual seria essa interseção aí dentro de termos no máximo 4 entregas e no mínimo 3 entregas? Quais são os números de entrega que entrariam nessa regra, 4 e 3, certo?! Então temos que:
E essa probabilidade do número de entregas ser maior ou igual a 3, do denominador da condicional, pode ser escrita como a complementar:
Já que, abaixo de 3, podemos ter duas, uma ou zero entregas.
Substituindo isso tudo na fórmula da condicional temos:
Passo 2
Agora podemos usar a fórmula da Poisson para calcular essas probabilidades, lembrando dela:
Então, lembrando que nossa média vale 5, nossa condicional fica: