Primeira Avaliação de Probabilidade e Estatistica UFRJ 2019.2
Suponha que o número de passageiros em uma viagem de Uber Juntos, do Fundão à Zona Sul ho horário de retorno, oferecida diariamente pelo motorista Carlos, seja uma v.a que segue uma distribuição de Poisson com média de 2 passageiros interessados. No carro, além do motorista, há somente 4 lugares disponível. Se não houver um mínimo de 3 passageiros, o custo-benefício não é eficiente e neste caso, Carlos não realiza a viagem. Calcule a probabilidade:
- De que, em um determinado dia, tenha mais interessados na viagem de Carlos do que vagas em seu carro;
- De que a viagem não se realize por falta de passageiros interessados (arredonde o resultado para 2 casa decimais);
- De numa semana com 5 dias de tentativas dessas viagem, exatamente 3 delas não tenham sido realizadas por número insuficiente de passageiros. Assuma independência do número de passageiros entre os dias;
- Condicional de que todos os interessados consigam a viagem dado que doi atingido o número mínimo de passageiros.
Passo 1
Primeira coisa importante é lembrar a Distribuição de Poisson, dada por
E uma vez que nosso problema segue essa distuição, não é um problema que requer muitos conhecimentos, apenas essa distribuição e uma boa analise da situação.
Passo 2
- Primeira situação é o caso de que tenham mais passageiros interessados do que vaga em seu carro.
- Agora queremos saber a probabilidade da viagem não acontecer devido a baixo interesse. Seu Carlos já falou, vão viajo com menos de 3 passageiros. Assim tomemos que
- Agora seu Carlos quer saber qual é a probabilidade de ao longo de 5 dias da semana, existir 3 na qual não houve viagem devido à um número insuficiente de passageiros.
- Agora queremos a probabilidade de que todas as viagens aconteçam pois se obteve o número esperado de passageiros, ou seja
Assim vamos pensar assim: Se calcularmos a probabilidade de existir ou passageiros, basta subtrairmos esse valor de que seria a porcentagem máxima. Desta forma teria a probabilidade de a viagem não ocorrer devido a um número maior de interessados do que vagas disponíveis. Faz sentido ?
Logo tenha em mente que
é a média de passageiros interessados naquele dia e é o número de passageiros interessados na viagem.
Assim tome que
Assim temos que
Passo 3
Que resulta em
Passo 4
Como agora temos uma distribuição de viagem ao longo da semana, na qual estamos interessados em sucesso ou fracasso. Assim devemos tomar a distribuição Binomial como foco de nossa atenção aqui. Tome que
Onde teremos que é a quantidade de dias da semana que não houveram viagens, o total de dias da semana que iremoa adotar e é a probabilidade de não haver viagens por número insuficiente de passageiros, ou seja como calculado no item (b)
Assim temos que
Passo 5
Que é a relação entre todos os interessado e o número mínimo. Aplicando Teorema de Bayes aqui, temos que
Entretanto a gente sabe que as probabilidades de viagens é dado por um distribuição de Poisson como informado, ou seja
E agora mais contas