USP probabilidade e estatística probabilidade PSUB 2017
Em uma caixa temos moedas, todas independentes e idênticas com probabilidade de cara igual a .
A) A probabilidade de termos exatamente caras se é?
B) A probabilidade de termos exatamente caras se for uma variável aleatória poisson com esperança igual à
Passo 1
Fala pessoal. Tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade.
Nós temos uma caixa com moedas idênticas e independentes, com probabilidade de cara igual a
Na letra A) queremos saber a probabilidade de observar exatamente caras supondo
Na letra B) queremos saber a probabilidade de observar exatamente caras supondo
Passo 2
Vamos começar pela letra A). Queremos calcular a chance de observamos caras em uma caixa com moedas. Vamos pensar aqui. Dado uma sequência qualquer de quatro moedas, qual a probabilidade de observamos caras?
Será igual à , onde é a probabilidade de vermos duas caras e é a probabilidade das outras duas moedas serem coroas.
Ou seja é a probabilidade de uma sequência ter duas caras. Mas de quantas formas isso pode acontecer? Isto é de quantas maneiras podemos observar exatamente caras em moedas? Usando combinação, temos escolhe formas de observar exatamente caras.
Dessa forma, como cada sequência com exatamente caras é equiprovável, então temos que a probabilidade de observamos exatamente caras em moedas é:
Ou seja, temos que o número de caras segue uma distribuição Binomial com parâmetro e probabilidade .
Passo 3
Agora que fizemos a letra A), e descobrimos que o número de caras segue uma distribuição Binomial com parâmetro e probabilidade .
Queremos calcular a probabilidade de observar exatamente caras supondo
Para essa questão vamos relembrar duas coisas, a função de probabilidade acumulada da Poisson e A lei da probabilidade total.
Se (1)
Sejam uma partição de então para todo
(2)
Passo 4
Com as propriedades e definições revisadas no passo anterior, podemos calcular a probabilidade de observar exatamente caras supondo .
Usando (2). Temos:
Por (1) sabe-se que
Juntando com o resultado da letra A)
(note que o indicie do somatório mudou. Consegue descobrir o porquê disso? Bem não tem como observar duas caras em um lançamento de uma moeda.)
Passo 5
No passo anterior calculamos a expressão da probabilidade de observamos caras se , e chegamos a conclusão que:
Agora vamos desenvolver essa expressão.
(juntando as potencias de 3, e cortando )
Mas pera ae, esse somatório não parece familiar? Não?
(Fazendo )
E agora? Ficou mais claro né? Esse somatório é a definição de , então temos: