P1-2017/1 UFRJ Questão 2
Um aluno de educação física, conhecido na escola por ser “bom de pontaria”, é desafiado pelos amigos num jogo de basquete. O desafio consiste em fazer 20 lances livres de forma independente ao cesto de basquete e avaliar sua performance nessas jogadas. Sabe-se que em média a cada 20 lançamentos ele acerta 15. Com base nesta informação, responda as perguntas a seguir.
a) Calcule a probabilidade do aluno acertar ao menos 17 das 20 jogadas.
b) Calcule a variância do número de acertos ao cesto nas 20 jogadas.
c) O professor de basquete da escola decide entrar na brincadeira e fazer o desafio. Sabe-se que a probabilidade do professor errar o arremesso ao cesto é de 0,01. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, calcule a probabilidade do professor errar no máximo 2 vezes em 300 lançamentos ao cesto.
Passo 1
Vamos lá, a questão fala pra gente de um cara que vai fazer lançamentos, onde nesses lançamentos ele pode acertar ou errar. Sucesso ou falha, sendo repetido n vezes (nesse caso 20 vezes): Binomial!
Sem dificuldades por enquanto, né?
Vamos então criar a variável aleatória , que é dada por:
Já podemos afirmar então que nossa v.a. segue o modelo Binomial.
Passo 2
a) Calcule a probabilidade do aluno acertar ao menos 17 das 20 jogadas.
Já sabemos que a nossa v.a. segue uma Binomial, mas antes de fazermos o cálculo das probabilidades, precisamos definir os parâmetros.
Como a questão fala pra gente que ele acerta em média 15 a cada 20 lançamentos, ou seja, nosso valor esperado é 15, podemos fazer que:
Logo, nosso seria:
E nosso , já que ele vai fazer 20 lançamentos.
Assim, ficamos com:
Passo 3
Resolvendo o que a letra pede pra gente, queremos acertar pelo menos 17 lançamentos, ou seja:
Passo 4
b) Calcule a variância do número de acertos ao cesto nas 20 jogadas.
Sabemos que na Binomial, a variância de é dada por:
Logo:
Passo 5
c) O professor de basquete da escola decide entrar na brincadeira e fazer o desafio. Sabe-se que a probabilidade do professor errar o arremesso ao cesto é de 0,01. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, calcule a probabilidade do professor errar no máximo 2 vezes em 300 lançamentos ao cesto.
Vamos criar outra variável aleatória aqui:
Aqui o nosso sucesso é o cara errar, cuidado pra não se confundir com isso!
Além disso ele pede pra gente aproximar a Binomial pela Poisson, e podemos fazer isso, já que e .
Aqui, nosso vai ser dado por:
Passo 6
O cara pede pra gente a probabilidade do professor errar no máximo 2 vezes, ou seja:
Resposta
a) 0,225
b) 3,75
c) 0,423