Um aluno de educação física, conhecido na escola por ser “bom de pontaria”, é desafiado pelos amigos num jogo de basquete. O desafio consiste em fazer 20 lances livres de forma independente ao cesto de basquete e avaliar sua performance nessas jogadas. Sabe-se que em média a cada 20 lançamentos ele acerta 15. Com base nesta informação, responda as perguntas a seguir.

a) Calcule a probabilidade do aluno acertar ao menos 17 das 20 jogadas.

b) Calcule a variância do número de acertos ao cesto nas 20 jogadas.

c) O professor de basquete da escola decide entrar na brincadeira e fazer o desafio. Sabe-se que a probabilidade do professor errar o arremesso ao cesto é de 0,01. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, calcule a probabilidade do professor errar no máximo 2 vezes em 300 lançamentos ao cesto.

Passo 1

Vamos lá, a questão fala pra gente de um cara que vai fazer lançamentos, onde nesses lançamentos ele pode acertar ou errar. Sucesso ou falha, sendo repetido n vezes (nesse caso 20 vezes): Binomial!

Sem dificuldades por enquanto, né?

Vamos então criar a variável aleatória X , que é dada por:

X = n ú m e r o   d e   a c e r t o s   a o   c e s t o   e m   20   j o g a d a s

Já podemos afirmar então que nossa v.a. segue o modelo Binomial.

X ~ B i n o m i a l ( n , p )

Passo 2

a) Calcule a probabilidade do aluno acertar ao menos 17 das 20 jogadas.

Já sabemos que a nossa v.a. segue uma Binomial, mas antes de fazermos o cálculo das probabilidades, precisamos definir os parâmetros.

Como a questão fala pra gente que ele acerta em média 15 a cada 20 lançamentos, ou seja, nosso valor esperado é 15, podemos fazer que:

E X = 20 p = 15

Logo, nosso p seria:

p = 0,75

E nosso n = 20 , já que ele vai fazer 20 lançamentos.

Assim, ficamos com:

X ~ B i n o m i a l ( 20 ; 0,75 )

Passo 3

Resolvendo o que a letra pede pra gente, queremos acertar pelo menos 17 lançamentos, ou seja:

P X ≥ 17 = P X = 17 + P X = 18 + P X = 19 + P X = 20

P X ≥ 17 = ∑ x = 17 20 20 x 0,75 x ∙ 0,25 20 - x ≈ 0,225

Passo 4

b) Calcule a variância do número de acertos ao cesto nas 20 jogadas.

Sabemos que na Binomial, a variância de X é dada por:

V A R X = n p ( 1 - p )

Logo:

V A R X = 20 × 0,75 × 0,25 = 3,75

Passo 5

c) O professor de basquete da escola decide entrar na brincadeira e fazer o desafio. Sabe-se que a probabilidade do professor errar o arremesso ao cesto é de 0,01. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, calcule a probabilidade do professor errar no máximo 2 vezes em 300 lançamentos ao cesto.

Vamos criar outra variável aleatória aqui:

Y = n ú m e r o   d e   e r r o s   a o   c e s t o   e m   300   j o g a d a s

Aqui o nosso sucesso é o cara errar, cuidado pra não se confundir com isso!

Além disso ele pede pra gente aproximar a Binomial pela Poisson, e podemos fazer isso, já que n = 300 ≥ 50 e n p = 3 < 5 .

Aqui, nosso λ vai ser dado por:

λ = 300 ∙ 0,01 = 3

Passo 6

O cara pede pra gente a probabilidade do professor errar no máximo 2 vezes, ou seja:

P Y ≤ 2 = P Y = 0 + P Y = 1 + P ( Y = 2 )

P Y ≤ 2 = ∑ x = 0 2 e - 3 ∙ 3 x x ! ≈ 0,423

Resposta

a) 0,225

b) 3,75

c) 0,423

Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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