TAREFA da aula- 4 - Probabilidade e Estatística – Questão 4
O pessoal de controle de qualidade afirma que os rolos de fita isolante apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros. Admitindo que a distribuição do número de emendas a cada 50 metros é modelado por uma Poisson, calcule as probabilidades:
a) De ocorrerem pelo menos duas emendas em um rolo de 125 metros.
b) De ocorrer uma emenda em um rolo de 100 metros.
c) De ocorrerem no máximo duas emendas em um rolo de 150 metros.
Passo 1
Bom! A gente sabe, pelo enunciado, que os rolos de fita isolante apresentam, em média, uma emenda a cada metros.
Ou seja! O número de emendas em metros é modelado por uma Poisson com média de emenda.
Isso significa que se a gente tiver uma v.a, que é dada por
Então, podemos dizer que:
Passo 2
(a) Na primeira situação a gente tem que calcular a probabilidade de ocorrer pelo menos duas emendas em 125 metros de fio.
O primeiro passo é notar que não estamos mais tratando de 50 metros, então a média não é mais 1 emenda... Vamos fazer uma regrinha de três aqui, pra resolver isso!
Então, se temos uma variável é dada por...
Dizemos que:
Passo 3
Se quisermos que tenham pelo menos duas emendas em um rolo de , então o que a gente quer é o seguinte...
E essa probabilidade acima, pode ser escrita também, graças ao complementar, como...
Pra calcular , vamos usar a função de probabilidade da Poisson.
Substituindo os valores:
E depois, calculemos ...
Sendo assim, temos que...
Passo 4
(b) Nessa letra aqui, o tamanho já mudou!
Agora, temos um rolo de metros.
Calma! Calma! Não criemos pânico!
É só usar a regrinha de três...
Com isso, se temos uma variável ...
Então:
E como o que a gente quer, é a probabilidade de ocorrer uma emenda em um rolo de metros, ou seja...
Então, usando Poisson...
Passo 5
(c) Bora pro último item!
Rapaz! O tamanho mudou de novo! Agora, temos metros.
Bom, se a gente tinha emenda a cada metros, vamos ter a cada , né não!?
Então, se
Passo 6
A probabilidade de ocorrerem no máximo duas emendas em um rolo de metros, é a mesma coisa...
E isso aí em cima, pode ser reescrito como...
Desse modo, calculando as probabilidades:
Substituindo, obtemos a probabilidade que queríamos:
Resposta
a)
b)
c)