Suponha que X i , i =   1 , … ,   50 , sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma delas tendo distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0,03 . Faça S   =   X 1   + … +   X 50 . Observação: a soma de variáveis aleatórias de Poisson independentes tem distribuição de Poisson.

(b) Calcule o valor exato da probabilidade   P ( S ≥ 3 ) .

OBS: Aqui se trata de aproximar uma distribuição discreta por uma contínua. Então, da mesma forma como foi visto no caso da aproximação de Binomial por Normal, cabe usar uma correção de continuidade.

Passo 1

Letra b)

Agora ele tá pedindo o valor exato da probabilidade. Ou seja, não vamos poder usar aproximações, vamos ter que tratar S como a v.a. que ela é verdadeiramente, uma v.a. de Poisson, que nem falamos lá no item a):

S   ~   P o i s s o n 50 λ → S   ~   P o i s s o n 50 × 0,03 → S   ~   P o i s s o n ( 1,5 )

E queremos calcular:

P ( S ≥ 3 )

Usando a probabilidade complementar temos que:

P S ≥ 3 = 1 - P S < 3

E S ser menor do que 3 é a mesma coisa que S ser igual a 0, 1 ou 2. Então:

P S ≥ 3 = 1 - P S < 3 = 1 - P S = 0 + P S = 1 + P S = 2

Usando a fórmula do cálculo de probabilidades para Poisson, vamos calcular essas três probabilidades dentro dos parênteses:

P S = 0 = e - 1,5 1,5 0 0 ! = 0,2231

P S = 1 = e - 1,5 1,5 1 1 ! = 0,3347

P S = 2 = e - 1,5 1,5 2 2 ! = 0,2510

Substituindo esses resultados:

P S ≥ 3 = 1 - 0,2231 + 0,3347 + 0,2510 = 1 - 0,8088 = 0,19115

Pronto, encontramos nossa probabilidade exata!

Resposta

Letra b)

0,19115

Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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