Assinale a matriz cuja imagem é um plano e cujo núcleo é uma reta.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Antes de começar vamos traduzir o que essa questão quer.
Lembra que:
Então o que temos que fazer é achar uma matriz A tal que:
Pra poupar tempo, podemos usar aqui o Teorema Núcleo-Imagem pra matrizes!
Ele diz que se a gente tem uma matriz , onde m é o número de linhas e n o número de colunas, podemos usar a relação:
De início a gente pode pensar em eliminar algumas alternativas. Se a gente substituir os valores da dimensão da imagem e do núcleo que a questão pede, vamos ter que:
Ou seja, a matriz A que a gente está procurando tem que ter dimensão , logo ela tem que ter 3 colunas.
Mas todas as matrizes das alternativas têm 3 colunas ☹
Então vamos testar uma a uma mesmo
Passo 2
(a)
A segunda linha dessa matriz é igual a primeira, então se escalonarmos, vamos eliminar essa linha.
Como ficamos com uma só linha, a dimensão da imagem é 1.
Substituindo isso no Teorema Núcleo-Imagem:
(já colocamos o porque vimos que vai ser 3 pra todas as matrizes)
Então:
E essa não é a nossa resposta.
Passo 3
(b)
Nesse caso as 3 linhas são iguais, então se escalonarmos vamos eliminar as duas últimas linhas e ficarmos só com a primeira.
Então a dimensão da imagem é 1.
Substituindo isso no Teorema Núcleo-Imagem:
Logo:
E essa também não é a nossa resposta.
Passo 4
(c)
Agora temos que a terceira linha é igual a primeira, então quando escalonarmos vamos zerá-la e ficar só com as duas primeiras.
Só que uma não é múltipla da outra, então se continuarmos escalonando não vamos conseguir zerar essa segunda linha não.
Aí vamos continuar com duas linhas. Então a dimensão da imagem é 2.
Substituindo no Teorema Núcleo-Imagem:
Logo:
E é isso que a questão queria!!!
Então nossa resposta é a letra (c).
Vamos só ver que a (d) também não satisfaz isso.
Passo 5
(d)
Nesse caso as 3 linhas são diferentes. Então vamos ter que escalonar mesmo.
Passo (i):
Passo (ii):
Não zeramos nenhuma linha. Então a dimensão da imagem vai ser 3.
Substituindo no Teorema Núcleo-Imagem:
Logo:
O que também não é o que queremos.
Resposta
(c)