Dada uma matriz A, seja L uma matriz obtida reordenando-se as linhas de A e seja C uma matriz obtida reordenando-se as colunas de A.
(I) Se tem solução, então também tem solução.
(II) Se tem solução única, então também tem solução única.
(a) I é falsa e II é falsa.
(b) I é verdadeira e II é falsa.
(c) I é falsa e II é verdadeira.
(d) I é verdadeira e II é verdadeira.
Passo 1
(I) Se tem solução, então também tem solução.
A matriz L é obtida reordenando-se as linhas de A.
Quando reordenamos as linhas de A, precisamos reordenar da mesma forma as linhas do vetor para que possamos garantir a existência de solução do sistema.
Caso contrário, não podemos afirmar que o sistema resultante terá solução.
Em outras palavras, ao alterarmos a ordem das linhas, mudamos a imagem da matriz dos coeficientes, mas mantemos o mesmo vetor , que pode ou não ser gerado a partir da imagem da matriz L.
Por isso, essa afirmativa é falsa.
Passo 2
Passo 3
(II) Se tem solução única, então também tem solução única.
A matriz C é obtida reordenando-se as colunas de A.
Quando reordenamos as colunas de A, não mudamos a imagem da matriz – isto é, não mudamos o espaço gerado pelos vetores que estão na coluna.
Ou seja, se antes tínhamos uma combinação desses vetores que resultava no vetor , depois de trocarmos a ordem das colunas, continuamos a ter essa uma outra combinação única.
Por exemplo, se temos com:
Podemos escrever como:
Se trocarmos a ordem das colunas de A, teremos:
E o nosso vetor passará a ser:
Para que continuemos a ter o mesmo vetor .
Então trocar a ordem das colunas não altera a existência única de solução pro sistema. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Resposta
(c) I é falsa e II é verdadeira.