UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.2, Questão 14
Sejam uma matriz quadrada e S o sistema .
Se quando tem solução, a solução é única, então pode não ter solução para algum .
Se tem solução qualquer que seja , então sempre tem solução única.
(a) A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa e é verdadeira.
(c) A afirmativa é falsa e é falsa.
(d) A afirmativa é verdadeira e é falsa.
Passo 1
Uma matriz quadrada, para ter solução única, precisa ter todas as suas linhas Dessa forma, nosso sistema vai ter o mesmo número de incógnitas e equações, tornando possível achar uma solução única.
Vamos ver um exemplo,
Sabemos que é então, também é.
O nosso sistema vai ser:
Que também pode ser escrito como:
Repara que temos uma combinação linear dos vetores das colunas, e vimos que eles formam um conjunto de 2 vetores do , ou seja, eles formam uma base do
Com uma base do consigo gerar todos os vetores desse espaço com alguma
Ou seja, esse sistema sempre vai ter solução! A afirmativa é falsa.
Passo 2
A segunda alternativa é verdadeira.
Isso porque se tem solução qualquer que seja , quer dizer que é sobrejetiva, ou seja a dimensão da imagem é igual a do contradomínio. Como a matriz é quadrada, a dimensão do contradomínio vai ser igual a do domínio.
Então nosso TNI ficaria assim:
Chamei a dimensão do domínio de , e sei que vai ser igual a dimensão da imagem, logo:
Ou seja, a matriz também é injetiva, e quando ela é injetiva, ela tem solução única!
Resposta
(b)