Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz 2 × 3 apenas com entradas 0 ou 1 . Se I m A = { x - y = 0 } e N u c A = { x + y + z = 0 } , qual a soma das entradas de A ?

a   0

b   4

c   6

d   Não há informações suficientes para se determinar

Passo 1

Bom, vamos ter que nos lembrar de algumas coisas aqui. Lembra que a imagem de uma matriz também é o espaço coluna dela? Então vamos achar seus geradores:

x - y = 0 ∴ x = y ⇒

( x , y ) = ( x , x ) = x ( 1,1 )

Opa, a imagem da matriz é apenas a reta gerada pelo vetor 1,1 . Isso quer dizer que ela têm essa forma:

A = 1 a b 1 a b

Po, mas como achamos esse a e esse b ? Pra isso que ele deu a equação do núcleo ;)

Como as linhas são iguais só precisamos pegar uma delas:

1 a b x y z = 0

x + a y + b z = 0

E a equação do núcleo é:

x + y + z = 0

Então temos a = b = 1 ! Então nossa matriz fica:

A = 1 1 1 1 1 1

Então a soma de todas as entradas da matriz da 6 !

Resposta

Letra ( c )

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Esboce a imagem do quadrado de vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,0 ) ,( 1 ,2 ) e ( 0 ,2 ) pela multiplicação por:pela expansão na direção x de fator k = 2 .