Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Assinale a matriz cujo núcleo é a reta x - 2 y = 0 e cuja imagem está contida no plano x + y + z = 0

a   A = 1 - 2 1 - 2 4 - 2

b   A = 1 - 2 - 2 4 0 0

c   A = 1 - 2 0 - 2 4 0

d   A = 1 - 2 - 2 4 1 - 2

Passo 1

Vamos dar uma olhada nas informações do enunciado. A imagem está contida no plano x + y + z = 0 . Bom, a imagem da matriz é o espaço gerado por suas colunas. Isso quer dizer que os vetores coluna também fazem parte da imagem concorda? Então vamos testar eles!

Bom, a imagem precisa de 3 coordenadas, então isso elimina as letras a e c que só possuem 2 linhas. Vamos ver se os vetores colunas de b ou d pertencem à imagem:

b   1 , - 2,0 T → 1 - 2 + 0 = 0 ⇒ - 1 = 0

Opa, o primeiro vetor coluna de b já não pertence ao domínio. Vamos ver a letra d só por garantia.

d   1 , - 2,1 T → 1 - 2 + 1 = 0 ⇒ 0 = 0

- 2,4 , - 2 T → - 2 + 4 - 2 = 0 ⇒ 0 = 0  

Perfeito, essa é a certa.

Resposta

Letra ( d )

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