A1 T22 T23
Sejam , e matrizes tais que . Considere as afirmativas:
- Se é injetiva e não é injetiva, pode ser injetiva.
- Se é sobrejetiva e não é sobrejetiva, pode ser sobrejetiva.
A afirmativa é falsa e a afirmativa é falsa
A afirmativa é verdadeira e a afirmativa é falsa
A afirmativa é falsa e a afirmativa é verdadeira
A afirmativa é verdadeira e a afirmativa é verdadeira
Passo 1
Afirmativa :
Pra resolver essa precisamos lembrar de duas coisas. Primeiro que o vetor nulo aplicado em qualquer matriz retorna o vetor nulo. Segundo que se uma matriz não é injetiva seu núcleo tem dimensão maior que .
Vamos lá, temos que . Então aplicar a matriz em um vetor é o mesmo que aplicar e depois ! Sabemos que não é injetiva, então ela possui vetores não nulos no seu núcleo. Digamos que seja esse vetor:
Ou seja, se pertence ao núcleo de ele também pertence ao núcleo de , logo, não pode ser injetiva.
Passo 2
Afirmativa :
Vamos pegar e . Nesse caso:
Onde:
Sabemos que não é sobrejetiva, então ela não gera o todo. Mas sabemos que é sobrejetiva, ou seja, quando aplicada no ela gera todo o .
Aí você pode pensar que como aplicar é o mesmo que aplicar e depois , a matriz não “recebe” todo o da matriz porque ela não é capaz de gerar ele todo. Então a matriz não vai ser capaz de gerar todo o também. Mas isso não é exatamente verdade. Ela não necessariamente precisa do todo para gerar o . Por exemplo, se ela precisará apenas de um “pedaço” do para gerar o . Então se escolhermos nossa de forma a gerar esse “pedaço”, conseguirá gerar todo o e será sobrejetiva!
Ta, talvez alguns de vocês tenham entendido isso que eu falei, mas tenho que admitir que é algo bem complicado de assimilar haha. Então pra quem não está satisfeito vou dar um exemplo:
Nesse caso vemos que não é sobrejetiva. Ela só gera dimensões no . Já é sobrejetiva, pois gera o todo. Vamos multiplicar elas:
Opa, deu a matriz identidade, que com certeza é sobrejetiva também haha. Então está provado! Existem infinitos exemplos de matrizes e que geram sobrejetiva, pode tentar achar algum outro se quiser.
Resposta
Letra