Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Os valores de a , b , c de forma que o sistema linear 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y z = a b c tenha pelo menos uma solução satisfazem a equação:

a   a - b + 2 c = 0

b   2 a - b + c = 0

( c ) a - 2 b + c ≠ 0

( d ) a - 2 b + c = 0

Passo 1

Para que o sistema tenha pelo menos uma solução, então o vetor a , b , c tem que estar na imagem da matriz! Então vamos achar qual a imagem. É só escalonarmos a transposta da matriz:

1 4 7 2 5 8 3 6 9 → L 2 ← L 2 - 2 L 1 L 3 ← L 3 - 3 L 1 1 4 7 0 - 3 - 6 0 - 6 - 12 → L 3 ← L 3 - 2 L 2 1 4 7 0 - 3 - 6 0 0 0

Beleza, temos a imagem da matriz. Então o vetor a , b , c tem que ser combinação linear desses dois vetores. Então é só testarmos os dois nas equações das alternativas e ver pra qual eles funcionam :p

Passo 2

Letra a

a - b + 2 c = 0

1,4 , 7 → 1 - 4 + 14 = 0 ⇒ 11 = 0

Ta fora, essa aí!

Letra b

2 a - b + c = 0  

1,4 , 7 → 2 - 4 + 7 = 0 ⇒ 5 = 0

Errada também!

Letra c

a - 2 b + c ≠ 0

1,4 , 7 → 1 - 8 + 7 ≠ 0 ⇒ 0 ≠ 0

Também tá errada.

Letra d

a - 2 b + c = 0

1,4 , 7 → 1 - 8 + 7 = 0 ⇒ 0 = 0

Beleza, agora pro outro vetor:

0 , - 3 , - 6 → 0 + 6 - 6 = 0 ⇒ 0 = 0

Certinho, essa é a certa. Fizemos só por fazer mesmo já que essa foi a última que sobrou né haha.

Resposta

Letra ( d )

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