Seja A uma matriz . Considere as afirmações:
(I) Necessariamente,
(II) pode ser 3.
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) A matriz A é desse tipo:
Então se eu quero achar o núcleo de A, teria que fazer:
Ou seja, ficaríamos com um sistema com 2 equações.
Aí lembra o seguinte:
Temos então 2 VDs e 3 VLs.
Mas essas equações vieram do núcleo né, então:
Beleza, agora falta achar a
Como a imagem é o espaço gerado pelas colunas e temos 5 vetores do nas colunas, vamos ter, no máximo, 2 vetores LI (nesse caso, todos os outros vão ser CLs deles).
Logo:
E a afirmação (I) é verdade, pois em qualquer caso:
Passo 2
(II) A matriz transposta tem 5 linhas e 2 colunas.
Sua imagem (espaço gerado pelas colunas) é gerada por vetores do e só temos 2 vetores nas colunas.
Podemos ter 2 vetores LD (um vai ser múltiplo do outro), e nesse caso
Ou então ter 2 vetores LI, e
Não é possível que , então (II) é falsa.
Resposta
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.