Ortogonalidade
Seja uma matriz e uma matriz .
Suponha que a imagem de está contida no núcleo de .
Então podemos dizer que:
é injetiva
é sobrejetiva
Passo 1
A gente sabe que, como é , então é equivalente a uma transformação linear
Igualmente, equivale a uma
O enunciado disse que .
Bom, mas o que é a imagem de uma matriz? São simplesmente todos os vetores que ela é capaz de gerar pela combinação linear das suas colunas. Isso quer dizer que as colunas de também fazem parte do núcleo de , concorda?
E o que nós fazemos em um produto de matrizes? Para encontrarmos nós aplicamos cada uma das colunas de em certo? Ou seja, a primeira coluna de é o resultado de vezes a primeira coluna de . A segunda coluna de é vezes a segunda coluna de . E assim por diante!
Mas se as colunas de estão no núcleo de , então vai dar sempre zero!!!
Ou seja, temos que !
Resposta
Letra