Seja uma matriz e sejam e matrizes invertíveis . Dentre as afirmações abaixo, a única falsa (isto é, que não é verdadeira para determinadas escolhas de , e ) é:

(onde denota “imagem”)

(onde denota “núcleo”)

Letra

Pra resolver essa temos que lembrar de uma propriedade da transposta e da inversa que dizem o seguinte:

Sim, aquelas que estavam com uma observação dizendo que eram muito importantes em Caps Lock. Espero que não tenham esquecido haha.

Substituindo essas relações:

Letra

Sabemos que a matriz é invertível. Por aquele nosso mega quadrinho de implicações loucas em matrizes quadradas sabemos então que ela é sobrejetiva. Isso quer dizer que a matriz gera qualquer vetor do .

Isso quer dizer que aplicar antes de aplicar não restringe os vetores que pode receber sacou? Se estivesse sozinha ela poderia receber qualquer vetor do e geraria lá a sua imagem. Aplicando antes ela continua podendo receber qualquer vetor do (já que gera todo o ) então sua imagem não muda. Essa tá correta então. A imagem de não só está contida em na imagem de como é igual a ela.

Letra

Novamente pelo nosso quadro de implicações se a matriz é invertível então ela é injetiva. Ou seja, o núcleo de é apenas o vetor nulo:

Então, naturalmente, o núcleo de está contido no núcleo de . Pra falar a verdade o núcleo de está contido no núcleo de qualquer matriz que você quiser, já que toda matriz contém o vetor nulo em seu núcleo.

Letra

Essa já ta mais do que manjada de que é falsa né haha. Não deve nem dar pra contar nos dedos o número de vezes que falei que, em geral, o produto de matrizes não é comutativo.