USP – Álgebra Linear – P1 2021 – Questão 9
Sejam e bases de . Suponha que e que
Seja a matriz que satisfaz , para todo . Considere o vetor tal que . Sabendo que , é correto afirmar que o determinante de é igual a
a) 12
b) 24
c) 3
d)
e)
f)
Passo 1
E aeee pessoal, tudo certo?
Vem comigo, vamos falar sobre matriz de mudança de base relacionada a determinantes
Temos duas bases e , onde sabemos que
Opa opa, se liga só: os vetores de estão escritos em relação à base :O isso já mostra pra gente uma matriz de mudança de base de para :
Mas então continuando, temos uma matriz tal que
Ué, essa matriz ta mudando o vetor da base () para a base ()... Então ela nada mais é do que a matriz de mudança de base de para
E aí queremos encontrar o determinante dessa matriz , vamos lá?
Passo 2
Nós temos a matriz de mudança de base de para :
Mas queremos o determinante de , que é a sua matriz inversa:
Quando invertemos uma matriz de determinante , o determinante da sua inversa vai ser
Então, temos que
Calculando o determinante de :
Então, o determinante que queremos vai ser
Opa, agora só falta encontrar esse pra termos o valor completo
Passo 3
Sabemos que um vetor escrito na base vai ser , enquanto na base vai ser
Então, podemos escrever
Multiplicando as matrizes:
Igualando as coordenadas, encontramos que , certo?? Agora é só substituir no determinante que encontramos
Passo 4
Lá do passo 2, temos que
E do passo anterior, temos que
Então
Ebaaaa, a alternativa correta é a letra E
Resposta
e)