Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

Ver Teoria
Exercício 37123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536383940

Enunciado

Seja T : P 1 ( R ) → P 1 ( R ) uma transformação linear, sejam α = { x , 1 - x } e β = { 2 - x ,   1 + 2 x } bases de P 1 R , e [ T ] α α = 1 2 3 4 .

  1. Para v = 3 + 2 x   calcule sua imagem T v .
  2. Determine a matriz mudança de base [ I ] α β .
  3. Determine a matriz da transformação [ T ] β β .

Passo 1

Letra a)

Como a matriz de transformação que nós temos está da base α para a base α podemos achar nosso polinômio v = 3 + 2 x nessa base α e aplicar a fómulinha que conhecemos:

[ T v ] α = [ T ] α α ∙ [ v ] α

Então vamos lá, como passamos nosso v para outra base?? Achando os coeficientes da combinação linear dos polinômios da base que gera v . Que??

Calma galera, assim olha:

3 + 2 x = a x + b 1 - x ⟺

3 + 2 x = b + a - b x

Igualando os termos que multiplicam x e os termos independentes dos dois lados da equação temos:

b = 3 a - b = 2 ⟹ a - 3 = 2 ⟹ a = 5

Agora é só aplicar a fórmula:

[ T v ] α = 1 2 3 4 ⋅ 5 3 ⟺   T v α = 11 27

Passo 2

Ok, chegamos ao valor de T v , acabou né?.

Mas pera aí, repara uma coisa aqui comigo, achamos T v α e não T v !! Temos que fazer uma mudança de base para chegar a nossa resposta, da base α para a base canônica.

Vamos fazer o inverso do que fizemos com v   lá em cima, dessa vez eu tenho o a e o b e quero achar o lado esquerdo da equação que vai ser nosso   T v :

T v = 11 x + 27 1 - x ⟺ T v = 27 - 16 x

Passo 3

Letra b)

Queremos achar a matriz mudança de base [ I ] α β , ou seja, a matriz que passa vetores da base β para a base α .

Essa matriz é formada botando os vetores da base   β na base α nas colunas. Então vamos começar passando os vetores de β para a outra base:

2 - x = a x + b 1 - x ⇔ 2 - x = b + a - b x

b = 2 a - b = - 1 ⟹ a - 2 = - 1 ⟹ a = 1

1 + 2 x = a x + b 1 - x ⇔ 1 + 2 x = b + a - b x

b = 1 a - b = 2 ⟹ a - 1 = 2 ⟹ a = 3

[ 2 - x ] α = 1 2 [ 1 + 2 x ] α = 3 1

Tendo os vetores, é só colocar nas colunas da nossa matriz. Lembrando que deve ser na ordem!

[ I ] α β = 1 3 2 1

Passo 4

Letra c)

Por último, vamos encontrar a matriz da transformação [ T ] β β , ou seja quero fazer a mesma transformação que a matriz do enunciado me deu, mas agora de forma que eu insira um vetor na base β e o resultado seja também um vetor na base β .

Temos uma fórmula para isso!

[ T ] β β = [ I ] β α ∙ [ T ] α α ∙ [ I ] α β

Sabendo que [ I ] β α = ( I α β ) - 1 obtemos todas as matrizes que precisamos.

1 2         3 1 1 0 0 1 ∼ 1 0         3 - 5 1 0 - 2 1 ∼ 1 0         3 1 1 0 2 5 - 1 5 ∼ 1 0         0 1 - 1 5 3 5 2 5 - 1 5

I β α = - 1 5 3 5 2 5 - 1 5

Aplicando a fórmula:

T β β = - 1 5 3 5 2 5 - 1 5 ∙ 1 2 3 4 ∙ 1 3 2 1 ⟺

T β β = - 1 5 3 5 2 5 - 1 5 ∙ 5 5 11 13 = 28 5 34 5 - 1 5 - 3 5

Resposta

  1. T v = 27 - 16 x
  2. [ I ] α β = 1 3 2 1
  3. T β β = 28 5 34 5 - 1 5 - 3 5

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam E = ( u → ,v → ,w → ) uma base e F = v → - u → ,u → - w → ,u → . Mostre que F é base e calcule a tripla de coordenadas do vetor u → + 2 v → + 3 w → na base F .
Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 bases tais que 2 e → 1 = 3f → 1 - f → 3 g → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 2 e → 2 = f → 1 + 3f → 3 g → 2 = e → 1 +
Sejam A, B, C, D matrizes de ordem n, sendo A e B semelhantes, C e D semelhantes. É verdade que A + C e B + D são semelhantes? E quanto a AC e BD?
Encontre o vetor de coordenadas de A em relação à base S = A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 de M 22 . A = 2 0 - 1 3 , A 1 = - 1 1 0 0 , A 2 = 1 1 0 0 , A 3 = 0 0 1 0 eA 4 = 0 0 0 1
Considere as bases B = u 1 ,u 2 e B ' = u 1 ' ,u 2 ' de R 2 , em que u 1 = 1 0 ,u 2 = 0 1 ,u 1 ' = 2 1 ,u 2 ' = - 3 4 a) Encontre a matriz de transição de B ' para B .b) Encontre a matriz de transição