Considere a transformação linear cuja matriz na base canônica do é

1. Encontre uma base ortonormal (referente ao produto interno canônico) tal que é diagonal.
2. Escreva .
3. Escreva

Então se é os autovetores que queremos, é eles que vamos encontrar. Pra isso vamos primeiro encontrar os autovalores, usando a relação:

Onde é a matriz diagonal que possui os autovalores na diagonal, logo:

E calculando o determinante dessa matriz, descobrimos que:

Logo as raízes desse polinômio serão:

Belezera, agora calcular os autovetores associados aos autovalores, devemos fazer:

Logo para o autovetor , temos:

E resolvendo esse núcleo, descobrimos que:

Logo, da segunda linha tiramos que:

E nosso autoespaço é dado por:

Portanto os autovetores associados a são:

E normalizando o segundo autovetor , temos que:

E nosso conjunto será:

Belezoca, agora para o segundo autovalor , temos que:

E resolvendo esse núcleo, descobrimos que:

Logo, da segunda linha tiramos que:

E da primeira linha:

E nosso autoespaço vai ser dado por:

Portanto o autovetor associado a é:

E normalizando o autovetor, temos que:

Tal que nosso conjunto de autovetores será:

Iradoso, então na letra (b), a matriz vai ser a matriz diagonal onde a diagonal principal é formada pelos autovalores respetivos aos autovetores da base :

O autovalor se repete duas vezes, devido ao numero de autovetores que ele possui associado.

E por fim, na letra (c), queremos encontrar a matriz , ou seja, a matriz mudança de base em a base para , onde é a base canônica. E nesse caso, pra escrevermos essa matriz usamos a relação:

Onde são os vetores da base . Logo:

Portanto: