UFPE – Álgebra Linear – 1º EE – 2022.1 - 3
Em , considere a base . Seja uma outra base tal que .
a) Determine o polinômio tal que .
b) Determine a matriz .
Passo 1
Fala, galera! Vamos responder essa questão.
O enunciado nos deu uma base e disse que tem outra base tal que . Mas o que isso quer dizer? Significa que essa é a matriz de mudança da base para a base .
Beleza, no primeiro item do nosso enunciado ele nos pede o polinômio tal que . Como a gente pode fazer isso?
Bom, como é a matriz de mudança de base de para , nós temos as coordenadas dos elementos de como combinação linear dos elementos da base , que nós já conhecemos também. Então, nós podemos usar a relação:
Assim, nós encontramos o polinômio na base e em seguida conseguimos determinar nosso .
Vamos lá!
Passo 2
Calculando na base , temos:
Não podemos esquecer que e que . Observe que eu tenho um sinal de transposta ali , então vamos escrevê-lo como um vetor coluna:
Fazendo a multiplicação das matrizes (não esquece que é linha vezes coluna), temos:
Agora nós temos , e temos essa matriz de coordenadas do polinômio com relação a base que acabamos de encontrar. Dessa forma, nós podemos escrever nosso polinômio como uma combinação linear desses elementos:
Resolvendo os produtos:
E resolvemos a letra a.
Passo 3
No item b, o enunciado nos pede para determinar a matriz . Como nós podemos fazer isso?
Nós já temos que é a matriz de transição da base para a base . A matriz de transição da base para a base vai ser então, por definição, a matriz inversa de .
Então vamos calcular essa inversa usando o método de Gauss-Jordan. Lembra dele? Nós escrevemos a matriz identidade à direita da matriz que a gente quer inverter, em seguida realizamos operações com as linhas para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. A matriz que aparecer no lado direito, será nossa inversa. Vamos lá!
Passo 4
Vamos escalonar a matriz do lado direito, primeiro subtraindo a linha da linha :
Agora vamos subtrair a linha da linha :
Agora subtraindo a linha da linha :
Só falta zerar o segundo elemento da primeira linha, então vamos subtrair a linha da linha :
Encontramos nossa inversa, logo:
É isso, galera. Encerramos o exercício! 😉
Resposta
a.
b.