A2 T20 T9 T8 T7 T6 T5 A1 T21 T20 T19
Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau até , e sejam os subespaços , .
Qual as dimensões de , e ? Justifique!
Defina , e , determine quais são subespaços de e obtenha bases para esses subespaços.
Justifique porque , e ache a matriz de mudança de base entre , a base canônica de , e , a base obtida acima (item ).
Se , ache .
Passo 1
tem elementos do tipo , com variáveis livres! Além disso, sabemos que uma base para é , que possui elementos. Logo, .
Os vetores geradores de são já que não são múltiplos, logo, . É importante ressaltar que eles serem quando não são múltiplos só vale quando temos um conjunto de vetores, como é o caso aqui.
Já o conjunto gerador de contém apenas um único vetor não nulo, logo .
Passo 2
Passo 3
A interseção e a soma de subespaços de um mesmo espaço vetorial serão sempre subespaços! Já a união de subespaços será apenas um subespaço, se um desses subespaços que estamos unindo estiver contido no outro. Confuso né? Vou falar de outro modo, só será subespaço de se ou ! Como contêm apenas termos de primeiro grau e constantes enquanto contém apenas termos de segundo grau, claramente e , Logo, a união não é um subespaço.
Passo 4
Agora as bases! Temos que . Pensa comigo, nenhum polinômio pode ser formado por combinações de polinômios de primeiro grau! Logo, não existe interseção entre eles, então a base de é o conjunto vazio.
Como , temos que a soma será direta! Logo, uma base para é a união das bases de e :
Passo 5
Temos que
Também sabemos que é subespaço de , pela letra e que . Bom que subespaço de tem a mesma dimensão de ? Ele mesmo né!
A matriz mudança de base tem como colunas os vetores de na base . Logo:
Então,
Passo 6
Queremos achar . Como temos e temos a base , podemos encontrar :
E passando para a base :
Resposta
e são subespaços de .