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Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

UFPE, Álgebra Linear I, 2 a EE -2017.2, Questão 3a

Responda:

Seja T : P 1 ⟶ P 2 uma transformação linear tal que T a + b t = a + a t + b t 2   e seja α = t + 1 , t - 1 uma base de P 1 e β = t 2 + 1 ,   t - 1 , t + 1 uma base de P 2 .   Determine T β α .

Passo 1

Pra começar, vou botar os elementos da base do domínio ( α ) na transformação:

T a + b t = a + a t + b t 2

T t + 1 = 1 + t + t 2

T t - 1 = - 1 - t + t 2

Passo 2

Agora vamos botar esses resultados na base do contradomínio β :

T t + 1 = 1 + t + t 2 = a t 2 + 1 + b t - 1 + c ( t + 1 )

1 + t + t 2 = t 2 a + t b + c + ( a - b + c )

Igualando os termos que multiplicam t 2 ,   t e os termos independents:

a = 1 b + c = 1 a - b + c = 1

Substituindo a = 1 na terceira equação:

b + c = 1 - b + c = 0

Somando as duas, acho que c = 1 2 e portanto b = 1 2 .

Logo,   1 + t + t 2 β = 1 1 2 1 2

Agora o outro polinômio:

T t - 1 = - 1 - t + t 2 = a t 2 + 1 + b t - 1 + c ( t + 1 )

- 1 - t + t 2 = t 2 a + t b + c + ( a - b + c )

Igualando os termos que multiplicam t 2 ,   t e os termos independents:

a = 1 b + c = - 1 a - b + c = - 1

Substituindo a = 1 na terceira equação:

b + c = - 1 - b + c = - 2

Somando as duas, acho que c = - 3 2 e portanto b = 1 2 .

Logo,   - 1 - t + t 2 β = 1 1 2 - 3 2

Passo 3

Juntando os dois resultados em colunas de uma matriz, temos:

T β α = 1 1 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 3 / 2

Resposta

T β α = 1 1 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 3 / 2

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