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Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P2, Q5

Denote por B a base de R 2 dada por

B = { 1,0 ,   ( 2 ,   1 ) }

E por C a base canônica de R 2 . Seja T : R 2 → R 2 a transformação linear tal que:

T B C = 2 - 1 2 1

Temos que a soma das entradas na diagonal principal da matriz T ∘ T C é igual a:

Escolha uma opção:

  1. 4
  2. 3
  3. - 7
  4. - 1
  5. 1 / 2

Passo 1

Faaala, galerinha! Trabalharemos aqui com o conceito de mudança de base. Temos aqui a matriz da transformação que leva da base B para a base C , queremos saber qual a matriz de mudança de base P C B tal que:

T C = T B C P C B

Dado C = { e 1 ,   e 2 } e B = { b 1 ,   b 2 }   as colunas p 1 i p 2 i da matriz que representa a mudança de base são dadas pelos coeficientes de:

e i = p 1 i b 1 i + p 2 i b 2 i ,               b i = ( b 1 i ,   b 2 i )

Ou seja, escrevemos a base do domínio na base da imagem e tomamos os coeficientes pra coluna que estamos construindo. Pense que se sabemos a imagem do domínio, podemos construir com esta o resto.

Assim, considere:

e 1 = 1,0 = x 1,0 + y ( 2,1 )

e 2 = 0,1 = z 1,0 + w ( 2,1 )

Com

P C B = x z y w  

Passo 2

Para resolver o sistema, sintetizamos as equações, tal que:

1,0 = x + 2 y ,   y               0,1 = ( z + 2 w ,   w )

Assim:

x + 2 y = 1 y = 0 z + 2 w = 0 w = 1   ⇒ x = 1 y = 0 z = - 2 w = 1   ⇒ P C B = 1 - 2 0 1

Passo 3

Dessa forma, temos que mudando a base do domínio da transformação:

T C = T B C P C B =

= 2 - 1 2 1 1 - 2 0 1 =

= 2 - 5 2 - 3

Donde, por fim:

T ∘ T C = T C T C =

= 2 - 5 2 - 3 2 - 5 2 - 3 =

= - 6 - 25 - 2 - 1

Logo, a soma das entradas diagonais de T ∘ T C é - 6 - 1 = - 7 .

Resposta

c. - 7

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