PUCRIO, G2-2019.1
Considere os vetores e de cujas coordenadas na base canônica de são:
Onde são números reais todos diferentes de .
- Determine valores de para que os vetores sejam linearmente dependentes e o subespaço gerado por eles seja o plano vetorial:
- Suponha agora que
- Seja uma base de . Considere a nova base de :
- Considere o plano de equação cartesiana:
É uma base de e que é um vetor de cujas coordenadas na base e canônica são:
Determine os valores de
Sabendo que as coordenadas do vetor na base são:
Determine as coordenadas de de na base .
E sua base:
Onde
Considere o vetor de cujas coordenadas na base canônica são
Determina as coordenadas de na base .
Passo 1
Belezoca de motoca galerinha, na letra (a), queremos determinar os valores de para que os vetores e sejam linearmente dependentes, e além disso que o subespaço gerado por eles seja o plano:
Show de bola, se os vetores são linearmente dependentes, quer dizer que podemos combinar dois deles, para gerar o terceiro. Então pra testar isso, podemos montar uma matriz com esse vetores nas linhas, desse jeito:
Entaõ se a gente escalonar essa matriz, e alguma linha for inteira formada de , então nossos vetores são L.D. Bora escalonar essa matriz então:
E agr que tá malicia, porque se as duas ultimas linahs forem iguais, então podemos garantir que os vetores são L.D. Pra isso acontecer, temos que:
Iradoso, começou a ficar bonito, colocamos todas nossas variaveis em função de uma só,
Passo 2
Agora o outro detalhe importante, é que os vetores L.I, desse mesmo conjunto, geram o plano
E para descobrir o plano formado entre dois vetores, usamos o produto vetorial, então pegando o primeiro e o ultimo vetor, temos que:
Calculando então, obtemos:
Mas como nossos valores e estão em função de , podemos trocar por:
Logo esse produto vetorial vai ser igual ao nosso plano;
Tal que:
Então tiramos que , e consequentemente:
Dessa forma, os valores de que satisfazem as condições é:
Passo 3
Agora na letra (b), suponha que
É uma base de e que é um vetor de cujas coordenadas na base e canônica são:
Queremos novamente encontrar os valores de . Só que a malandragem aqui é ver que está acontecendo uma troca de bases, da canônica para a . E quando a gente faz isso, temos que o vetor na base é dado por:
Onde os coeficientes serão os valores na nova base, isto é:
Dessa forma, temos que nossa combinação linear com os vetores , são:
Substituindo então os valores de , temos;
Então podemos montar um sistema com esses vetores, desse jeito;
Logo:
Passo 4
E na letra (c), queremos encontrar as coordenadas de onde:
E , onde:
Show de bola, então quer dizer que:
E da mesma maneiro, para , temos que;
Colocando os vetores em evidência, chegamos em:
Só que a malandragem agora é que temos o vetor escrito na mesma base , e É O MESMO VETOR , ou seja:
Então podemos montar o sistema:
Fazendo a primeira linha menos a segunda, temos que:
E agora somando a primeira linha com a terceira, chegamos em:
Logo:
E substituindo esse resultado na terceira linha:
E consequentemente, , portanto o vetor escrito na base é:
Passo 5
Belezoca galera, agora na letra (d), queremos encontrar as coordenadas de na base , onde:
Sabendo que na base canônica é dado por:
Só que o problema aqui é que nossa base possui apenas vetores na base. E pra gente poder escrever um vetor em vamos precisar de vetores. Isso quer dizer que precisamos encontrar esse terceiro vetor. E pra isso a gente pode usar os coeficientes do plano;
Esses coeficientes representam o vetor normal do plano, e esse vetor é independente dos vetores da base, tal que:
Portanto, para trocar de base, fazemos:
Montando um sistema, temos;
Logo, a representação matricial desse sistema é:
Então escalonado ela para obter o resultado, temos:
Logo da segunda linha temos que;
E substituindo na segunda linha:
E por fim na primeira linha, ficamos assim:
Portanto: