UFRJ – CCMN – IM – Departamento de Métodos Estatisticos. Segunda Avaliação de Probabilidade e Estatística
Sejam e variáveis aleatórias cuja função de probabilidade conjunta seja dada como abaixo, onde , para e :
- Determine as distribuições marginais de e
- e são independentes? Justifique
- Determine a Distribuição de e calcule , a esperança de
- Calcule , a variância de .
Passo 1
(a) A distribuição marginal de de um subconjunto é a distribuição de probabilidade das variáveis desse subconjunto, ou seja
Tomando o que é proposto no passo 1, temos que
Seguindo a mesma lógica para todas as outras distribuições
E agora para
Que são nossas distribuições marginais.
Passo 2
(b) Duas variáveis são consideradas independentes, se e somente se
Assim vamos recorrer ao que já calculamos. Tome e
Enquanto
E
Ou seja
Assim
Implicando que nossas variáveis não são independentes.
Passo 3
(c) ok, queremos saber quanto vale a distribuição , assim tome que
Até aqui, tranquilo, certo? Mas rlx, não fica pior não hahaha
Tome que
Que é nossa esperança.
Passo 4
(d) Por fim queremos calcular a .
Lembrand o que
Pois bem, tome que
Assim
que resulta em
Assim temos que
Resposta
(b) Não.
(c)
(d)