USP, Probabilidade, P2-2019.2, Teste 4
04) Cada viagem que um cobrador profissional realiza até a casa do devedor custa reais. Se encontrar o devedor em casa, evento que tem probabilidade de , o cobrador consegue receber o valor devido; os eventos relacionados a diferentes viagens são independentes. Qual é o custo médio de cobrança de um devedor?
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Eaí gente!! Tudo bom com vocês?
Nessa questão temos um cobrador muito insistente que fica indo na casa das pessoas pra cobrar dinheiro. Pense num emprego top!
A mecânica do trabalho (pra quem ficou interessado haha) funciona assim: Ele vai na casa da pessoa, se encontrar o devedor em casa a dívida é recolhida e tudo fica na paz. Isso ocorre com probabilidade de . Se não encontrar, ele precisa voltar lá até conseguir recolher a dívida. A probabilidade dele não encontrar é de:
Beleza, a questão quer saber qual o custo médio de cobrança. Ou seja, em média, quanto que esse cobrador gasta por devedor até conseguir encontrar o fujão em casa e recolher a dívida?
Passo 2
Beleza, já sabemos o que a questão pede. Mas como é que a gente pode calcular custo médio usando os conceitos de probabilidade?
Em geral galera, quando a questão falar em média de algo, devemos lembrar logo da nossa esperança matemática (que também é chamada de média haha).
Então, se queremos calcular a média do custo, uma boa ideia é definir uma variável aleatória que represente esse custo e calcular a sua esperança matemática. Assim, podemos definir:
Custo de cobrança por devedor
Daí, como não há um limite teórico de viagens que o cobrador necessitará fazer para cobrar um devedor, pode assumir infinitos valores discretos. Por exemplo, se o cobrador precisar ir na casa do devedor vezes até encontra-lo presente e recolher a dívida, o custo será:
De forma geral, se o cobrador necessitar ir vezes na casa da pessoa, o custo será:
Beleza! Mas e qual a probabilidade dele precisar ir vezes na casa do cidadão?
Então, é só pensar que se ele foi vezes é porque em vezes ele não encontrou a pessoa em casa (que ocorre com probabilidade de ). E na vez o cobrador encontra o devedor, o que ocorre com probabilidade . Então:
Top!
Passo 3
Agora que já temos a nossa variável aleatória, sabemos como comportam-se os seus valores e as suas respectivas probabilidades, podemos montar a querida tabelinha pra nos ajudar no cálculo da esperança matemática (ou média) de .
A esperança matemática deve ser calculada pela expressão:
Massa! Nosso trabalho então é somar toda a coluna da direita da tabelinha, só que até tendendo a infinito...
Pois é! Mas vamos com calma, tudo na vida tem um jeito (eu espero haha).
Passo 4
Beleza! Tava tudo indo bem né, mas como calculamos essa soma? Alguma ideia?
Todo mundo deve ter torcido pra isso ser a soma de uma PG infinita né? Mas não é exatamente isso. Antes de mostrar o truque, bora melhorar um pouco a expressão...
Parece piada, Mas isso daí mudou tudo! Essa soma é o que chamamos de P.A.G.
Hahaha! Existe mesmo galera, é a nossa “Progressão Aritmética Geométrica”! Olha:
Percebem que em azul temos uma P.A de razão e de preto temos uma PG de razão ?
Então, essa é a característica da P.A.G. Tem uma PA e uma PG ao mesmo tempo. E como é que resolvemos isso?
Vou ensinar o truque pra vocês! A ideia é multiplicar em ambos os lados pela razão da PG .
Logo em seguida vamos fazer . Daí vem:
É isso galera, com esse truque a gente reduziu o problema de calcular a soma de uma P.A.G a calcular a soma de uma P.G. Nesse caso uma PG infinita. Relembrando a soma de uma PG infinita...
Daí, sendo o primeiro termo da PG e a sua razão. Temos:
Aeeeeee, conseguimos calcular aquela expressão tão feia! Agora é só correr pro abraço:
Ufaa! Conseguimos gente! Bem legal essa questão né?
Espero que vocês tenham gostado, aguardo todo mundo na próxima hein!
Resposta
Letra E: