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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

USP, Probabilidade, P2-2019.2, Teste 14

14) Considere duas variáveis aleatórias X   e Y com valores esperados E X = 0 e E Y = 4 e variâncias σ 2 X = 3 e σ 2 Y = 5 , respectivamente. O valor de E ( X 2 + Y 2 ) é:

A) 6

B) 12

C) 0

D) 24

E) 48

Passo 1

Ooii gente, tudo bom com vocês?

Esse exercício é bem direto, basicamente temos duas variáveis aleatórias X e Y e queremos saber a esperança matemática E ( X 2 + Y 2 ) . São dados as esperanças e variâncias de X e de Y .

A dificuldade desse item é conseguir trabalhar matematicamente E ( X 2 + Y 2 ) até ele cair em algo que sabemos como calcular.

Eaí, tem alguma ideia de como fazer isso?

A ideia é usarmos as propriedades do valor esperado e da variância para conseguir manipular a expressão.

Passo 2

Então, tem uma propriedade bem importante que vai nos ajudar aqui. Lembra que:

E a X + b Y = a ⋅ E X + b ⋅ E ( Y )

Da mesma forma, podemos dizer que:

E X 2 + Y 2 = 1 ⋅ E X 2 +   1 ⋅ E ( Y 2 )

Muito bom! Conseguimos reduzir nosso problema a encontrar E ( X 2 ) e E ( Y 2 ) .

Mas, vocês lembram que a nossa Variância de X pode ser escrita como:

σ 2 ( X ) = E X 2 - E X 2

Logo, vale que:

E X 2 = σ 2 X + E X 2

Como σ 2 ( X ) e E ( X ) foram dados no enunciado, substituindo temos:

E X 2 =   3 + 0 = 3

O mesmo vale para E ( Y 2 ) , daí:

E Y 2 =   σ 2 Y + E Y 2

Logo:

E Y 2 = 5 + 4 2 = 21

Passo 3

Pronto! Agora é só a gente usar novamente a fórmula que desenvolvemos pela propriedade da esperança:

E X 2 + Y 2 = 1 ⋅ E X 2 +   1 ⋅ E ( Y 2 )

E vem que:

E X 2 + Y 2 = 3 + 21 = 24

É isso aí galera! Já vamo aproveitar o embalo e ir pra próxima questão, espero vocês lá 😉

Resposta

Letra D: 24

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