Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

Se um saco de açúcar contém em média 1 k g       com desvio padrão de 0.10 k g     , qual é o par esperança;variància da variável aleatória Y   definida como a média aritmética do peso de 4   sacos de açucar, escolhidos independentemente, em um supermercado?

Passo 1

Fala pessoal!! Tudo certinho? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Nessa questão precisamos calcular E Y   e V Y   . Mas quem é Y ?  

Tem-se que Y   =   X 1   +   X 2   +   X 3   +   X 4 4 onde X i   é uma variável aleatória de média 1 k g       e desvio padrão de 0.10 k g      

Passo 2

Queremos calcular E Y , como vimos no passo anterior,

E Y   =   E X 1   +   X 2   +   X 3   +   X 4 4

(usando a linearidade da esperança)

  = 1 4 E X 1   +   X 2   +   X 3   +   X 4

(soma das esperanças é a esperança da soma)

  = 1 4 E X 1   +   E X 2   +   E X 3   + E X 4

  = 1 4 4 ⋅ 1  

= 1  

Passo 3

Conseguimos calcular a E Y , Agora vamos calcular V Y .

V Y   =   V X 1   +   X 2   +   X 3   +   X 4 4

(lembrem-se constantes saem elevadas ao quadrado da variância)

  = 1 16 V X 1   +   X 2   +   X 3   +   X 4

(Para variáveis independentes, a variância da soma é a soma das variâncias)

  = 1 16 V X 1   +   V X 2   +   V X 3   + V X 4

(Como o desvio padrão de X i é 0.1   a sua variância será 0.1 2 )

= 1 16 ⋅ 4 ⋅ 0.1 2

= 0.0025  

Resposta

1 ; 0.0025  

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