Uma transportadora de cargas possui quatro caminhões de aluguel. O aluguel é realizado por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados por dia é dada por:

Sabendo que o aluguel por dia é da ordem de e que a despesa total diária com a manutenção de cada veículo é igual a quando este é alugado e de , quando tal fato não ocorre, encontre:

1. O número médio diário de caminhões alugados e o desvio padrão.
2. A média e o desvio padrão do lucro diário

Pra calcular a variância usamos a fórmula:

Aí agora podemos calcular o desvio padrão que é a raiz quadrada da variância:

(b)

Bom, nós sabemos que a definição de lucro é:

Nosso faturamento vai ser o aluguel das caminhonetes. Como o aluguel de cada uma custa :

Onde continua representando o número de caminhonetes alugadas por dia.

E nossas despesas totais? O enunciado diz que cada caminhonete alugada traz de despesas, ou seja:

E quando uma caminhonete não é alugada, a despesa que ela traz é de . Mas quantas caminhonetes não vão ser alugadas? O total de caminhonetes menos a quantidade que for alugada, certo? Ou seja, ). Então temos que:

E as despesas totais serão a soma dessas duas aí:

Nossa equação do lucro, substituindo tudo que achamos, fica assim então:

Show! Agora podemos calcular o que foi pedido. Para a média do lucro, podemos “aplicar” a esperança dos dois lados da equação:

Fazendo a distribuiva...

A constante que está multiplicando o pode sair dos parênteses multiplicando a esperança, e a esperança de uma constante vale a própria constante, então...

Mas já vimos na letra a) que , substituindo:

Essa aí então é a média do nosso lucro diário.

Para o desvio padrão, vamos seguir o mesmo raciocínio. Tirando a variância dos dois lados da equação do lucro:

Distributiva...

A constante multiplicando o sai da variância ao quadrado, e a variância de uma constante é igual a zero, então...

Mas lá na letra a) vimos que a variância de é . Substituindo:

Mas nós queremos o desvio padrão do lucro diário, então tira a raiz disso aí: