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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

USP probabilidade P2 2017

Uma partícula na reta real parte do ponto 0   . A cada segundo, a partícula pode permanecer onde está ou se mover uma unidade para a direita; cada movimento é independente dos demais e, a cada instante, a probabilidade de permanecer é igual à probabilidade de se nover. Seja x   a posição da particula após T   segundos. Quais afirmações são verdadeiras?

A) E X   = T 4   C) P X   =   x   =   P X   =   T   -   x

B) V X   = T 4  

Passo 1

Fala pessoal. Essa questão parece meio confusa, mas podemos simplifica-la bastante.

Note que, X   =   x   quer dizer que até o tempo T   a partícula se deslocou para direita x   vezes e ficou parada T - x   . Mas isso pode ocorrer de T   escolhe x   formas. Ou seja,

P X = x   =     T ! x ! T - x ! 1 2 x ⋅ 1 2 T - x  

Logo X   ∼ B i n T , 1 2

Agora as coisas ficaram bem mais claras, não concorda?

Passo 2

Agora que sabemos a distribuição de X     , podemos verificar as afirmações. Vamos começar pela letra a).

Temos que a esperança de uma binomial é E X     =   T 2

Então a letra a) é falsa

Passo 3

Verificaremos a letra b)

A variância de uma binomial é E X     =   T ⋅ 1 2 ⋅ 1 2   =   T 4

Passo 4

Verificaremos a letra c)

P X = x   =     T ! x ! T - x ! 1 2 x ⋅ 1 2 T - x  

  T ! x ! T   -   x ! 1 2 T   =   P X   =   T - x

⇒   P X   =   x   =   P X = T - x

Resposta

b) e c)

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