Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s independentes com distribuição Normal com as seguintes médias e desvios-padrão:
Pacotes de café: média e desvio-padrão .
Pacotes de tapioca: média e desvio-padrão .
Pacotes de feijão: média e desvio-padrão .
Suponha que o peso da mala vazia é 1,5 kg e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0 kg de roupas.
Pede-se:
- Determinando o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos, qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20 kg permitidos para o embarque.
- No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de e desvio-padrão de . A Aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre e .
Observação:
- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.
- Para utilizar a tabela da normal, ajustar para 2 casas decimais.
Passo 1
a)
Vamo dar surra de v.a. agora:
E podemos afirmar que:
Esse e esse são os pesos da mala vazia e das roupas, que são exatos! Então não precisam ser representados por v.a.s.
Para calcular a esperança do peso total (peso total esperado), vamos “aplicar” esperança nesse expressão toda:
Lembrando que pela propriedade, a esperança joga a constante que tá multiplicando a v.a. para fora, e que a esperança de uma constante é a própria constante. Substituindo os valores dessas esperanças () dadas no enunciado:
Passo 2
Mesmo raciocínio pra variância, vamos “aplicar” variância na nossa expressão dos pesos:
Lembrando que pela propriedade, a variância joga a constante que tá multiplicando a v.a. para fora ao quadrado, e que a variância de uma constante é zero (por isso nossos termos e sumiram!). Substituindo os valores do desvio-padrão dados no enunciado aí dentro (ou seja, elevando eles ao quadrado, ):
Passo 3
b)
Amostra a partir de uma população Normal!
Agora estamos queremos analisar a esperança de uma amostra de bagagens, então nosso passa a ser um amostral. Com isso teremos uma distribuição Normal pra uma média amostral, onde mantemos a esperança da população de origem e dividimos a variância pelo número de elementos da amostra:
Passo 4
A probabilidade que queremos é:
Padronizando:
Usando as propriedades da Normal:
Resposta
Letra a)
Letra b)