USP, Probabilidade, P3-2018.2, Teste 11
11) Considere as afirmações a respeito de uma variável aleatória discreta que assume apenas valores reais.
(a) (b) (c)
Quais alternativas são corretas?
a) Só (a).
b) Só (a) e (c).
c) Só (a) e (b).
d) Só (b) e (c).
e) Só (c).
Passo 1
Eaí gente, tudo certinho com vocês?
Essa questão busca trabalhar algumas propriedades de “Esperança Condicional” para variável aleatória discreta, mas em uma situação particular que vamos ver adiante. Basicamente, queremos analisar cada uma das alternativas pra descobrir se a igualdade mostrada é válida.
a) Começando no item a), temos a seguinte igualdade proposta:
Bora tentar sair do lado esquerdo e chegar no direito, beleza?
Lembra da definição de esperança condicional? Resumidamente, para variável aleatória discreta, ela diz que:
Massa! Só que agora, temos . Daí:
Mas,
Logo:
Portanto, a afirmação (a) é verdadeira 😊
Passo 2
b) Agora devemos verificar se é verdade:
A ideia é usar novamente a definição de esperança condicional:
Mas agora com .
Esse conjunto, pode parecer meio confuso. A ideia é pegar cada elemento de e elevar ao cubo mesmo. O que é bem legal de perceber é que, como é um expoente ímpar, não estamos mudando a probabilidade de ocorrer , sabe?
Se o expoente fosse par, poderíamos ter , de modo que a probabilidade de ). Legal né?
Daí, temos que:
Logo, teremos novamente:
Massa! Então essa também é verdadeira 😊
Passo 3
c) Pra finalizar devemos verificar se é verdade:
Pô, pelo nosso resultado da afirmação (a) já sabemos que:
Assim, substituindo temos:
Mas:
Portanto, essa afirmação é falsa!
Prontinho galera, é isso aí. Até a próxima 😊
Resposta
Letra C.