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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

USP probabilidade e estatística probabilidades PSUB 2019

Uma variável aleatória X possui a seguinte distribuição de probabilidade: P X = - 2 = 0,1 ;   P X = - 1 = 0,2 ;   P X = 1 = 0,3 ;   P X = 2 = 0,4 . Seja a variável aleatória Y = 4 X 2 . Os valores esperados E X   e   E Y são respectivamente:

Passo 1

Fala pessoal!!! Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade! Essa questão é boa, pois vamos poder revisar a definição de esperança de uma variável aleatória.

Vamos anotar as informações do enunciado:

P X = - 2 = 0,1

P X = - 1 = 0,2

P X = 1 = 0,3

P X = 2 = 0,4

Y = 4 X 2

Queremos E X   e   E Y

Passo 2

Nós sabemos quais valores X   pode assumir e suas respectivas probabilidades, mas não sabemos os de Y   . Vamos calcular

Pela definição temos que Y = 4 X 2 , como X   ∈ - 2 , - 1,1 , 2 , então Y   poderá assumir os valores 4 / - 2 2 ,   4 / - 1 2 ,   4 / 2 2 ,   4 / 1 2 mais conhecidos como : 1 ,   4 ,   1 ,   4  

Mas quais são suas probabilidades de ocorrências? Vamos calcular!

P Y = 1   =   P 4 x 2   =   1

(isolando x)

=   P 1 x 2   =   1 4

=   P X   =   ± 2

(pela independência)

=   P X   =   + 2 + P ( X =   - 2 )

(substituindo os valores)

=   0.4   +   0.1  

=   0.5  

E temos também que:

P Y = 4   =   P 4 x 2   =   4

(isolando x)

=   P 1 x 2   =   1

=   P X   =   ± 1

(pela independência)

=   P X   =   - 1 + P ( X = +   1 )

=   0.2   +   0.3    

=   0.5  

Passo 3

Agora que temos as probabilidades de cada variável aleatória, podemos calcular as esperanças de X   e   Y . Vamos dar uma revisada na definição de esperança.

E X   =   ∑ x   x P X = x

Lembraram? Ótimo!

Vamos começar com a E X  

E X   =   ∑ x   x P X = x

=   - 1 P X = - 1   - 2 P X = - 2   + 1 P X = + 1   + 2 P X = + 2

(substituindo as probabilidades)

=   - 0.2   - 0.2   + 0.3   + 0.8    

=   0.7  

E para finalizar a questão, a E Y

E Y   =   ∑ y     y P Y = y

  =     1 P Y = 1   +   4 P Y = 4

(substituindo os valores)

=   0.5   +   2    

=   2.5  

Com isso terminamos mais uma questão de probabilidade. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!

Resposta

0.7   ;   0.5  

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