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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

USP probabilidade P2 2018

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. Dentre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras?

a) Se X e Y são independentes: E[XZ] = Cov[X,Y + Z] + E[X].E[Z] , para qualquer variável aleatória Z

b) Cov[X + Y, X − Y ] = V [X] − V [Y ] + 2Cov[X,Y ]

C) Cov[X + Y, X + Y ] = V [X] + V [Y ] + 2Cov[X,Y]

Passo 1

Como sempre, vamos anotar as informações que o problema nos passa e as definições necessárias.

X   e   Y   i i d

C o v X ,   Y   =   E X Y   -   E X E Y  

Com isso temos: C o v X ,   Y   +   Z   =   E X Y   +   Z   -   E X E Y     +   Z

=   E X Y   +   X Z   -   E X E Y   + E Z =   E X Y     +   E   X Z   -   E X E Y   - E Z E X = E   X Z   -   E Z E X

Com isso, letra (a) é verdadeira

Passo 2

Vamos fazer a letra (b). Temos que:

C o v X + Y ,   X - Y   =   E X + Y X - Y   -   E X + Y E X - Y =   E X 2 - Y 2   -   E X + E Y E X - E Y =   E X 2 - E Y 2   -   E X 2 - E Y 2 =   V a r X   -   V a r Y

Letra (b) é falsa

Passo 3

De forma análoga iremos fazer a letra (c)

C o v X + Y ,   X - Y   =   E X + Y X + Y   -   E X + Y E X + Y

=   E X 2 +   2 X Y + Y 2   -   E X + E Y E X + E Y

=   E X 2 + E Y 2   +   E 2 X Y   -   E X 2   +   E Y 2   +   2   E X E Y

=   E X 2 + E Y 2   +   E 2 X Y   -   E X 2   -   E Y 2   -   2   E X E Y

=   V a r X   -   V a r Y   +   2   C o v X , Y

Letra (c) é verdadeira

Resposta

  1. c)

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