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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

Prove as expressões abaixo:

E a X + b = a E X + b

V a r a X + b = a 2 V a r X

Passo 1

1ª coisa: NÃO PIRA! Vamos com calma ok?

Vamos lembrar o que cada coisa é, ou seja, o que é média e variância ok?

E X = ∑ x . p x

Então jogando nessa fórmula teremos:

E a X + b = ∑ a X + b p ( a X + b )

Mas você concorda que:

P a X + b = P ( X )

Ou não?

Se não concorda, pensa comigo aqui rapidinho... Imagina um dado ok? Temos alguns possíveis resultados de X certo? Eles são...

X = 1,2 , 3,4 , 5,6

E temos que

P X = 1 = P X = 2 = … = P X = 6 = 1 6

Sim?

Agora imagina que usamos esse dado em um jogo de tabuleiro, onde temos uma regra que diz:

“O número de casas que o jogador deve avançar é o dobro do número obtido ao jogar os dados mais três casas.”

Opa! E aí? O que ele quis dizer?

N º   c a s a s   a v a n ç a d a s = 2 x + 3  

Entãão se jogarmos o dado e tiramos:

Nº do dado(X)

Nº de casas(Y)

1

2.1+3

5

2

2.2+3

7

3

2.3+3

9

4

2.4+3

11

5

2.5+3

13

6

2.6+3

15

Então temos novamente seis possibilidades? Podemos andar 5,7,9,11,13 ou 15 casas certo? Então percebe que podemos dizer que a probabilidade de:

P Y = 5 = P X = 1 = 1 6

E podemos dizer isso para todos? ((:

Então vamos continuar naquela expressão... Onde estávamos mesmo?

E a X + b = ∑ a X + b p a X + b = ∑ a X + b p X

E a X + b = ∑ a X . p x + b . p X = ∑ a X . p ( X ) + ∑ b p X = a ∑ X . p X + b ∑ p X

Epa! Olha só:

Então

E a X + b = a E X + b

Passo 2

Vamos olhar a outra expressão agora? Mas primeiro vamos relembrar a expressão de variância

V a r X = E X 2 - E X 2

Substituindo teremos

V a r a X + b = E a X + b 2 - E a X + b 2                                 ( i )

Desenvolvendo (produto notável!!!) & substituindo E a X + b = a E X + b ...

V a r a X + b = E a X 2 + 2 a b X + b 2 - { a E X 2 + 2 a b E X + b ² }                         ( i i )

Olhando para E a x 2 - 2 a b x + b 2 simbora desenvolver? Vamos usar a mesma lógica da primeira expressão que deduzimos (:

E a X 2 + 2 a b X + b 2 = E a 2 X 2 + 2 a b X + b 2 = a 2 E X 2 + 2 a b E X + b 2                       ( i i i )

Substituindo (iii) em (ii)

V a r a X + b = a 2 E X 2 + 2 a b E X + b 2 - a 2 E X 2 - 2 a b E X - b 2

Cancelando

V a r a X + b = a 2 E X 2 - a 2 E X 2 = a 2 E X 2 - E X 2

V a r a X + b = a 2 V a r ( X )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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