USP, Probabilidade, P2-2019.2, Teste 7
07) Uma variável aleatória contínua possui a seguinte função densidade de probabilidade:
,
Para . O valor esperado de é:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Faaala galerinha, como vocês estão? Todo mundo bem?
Nessa questão temos um problema bem direto, sem muita enrolação, envolvendo uma variável aleatória contínua . No caso, é dada a função densidade de probabilidade de e é pedido o seu valor esperado .
Beleza, mas como podemos calcular o valor esperado de uma variável aleatória contínua?
Bom, basta a gente usar uma fórmula bem importante de ter guardada no coração (do lado do espaço da morena(o) haha):
Passo 2
Certo, agora que já sabemos como calcular, vamos às continhas:
Essa integral é meio chata porque um dos limites de integração é . Por isso, vamos calcular primeiro a integral indefinida e depois usar os limites de integração. Ou seja, vamos calcular:
Uma boa ideia é usar o método de integração por partes. Ele fala que:
Assim, chamando e , teremos que:
Voltando para nossa integral definida, vamos ter que:
Vish, tá ficando feio!
Passo 3
Então, depois de todas essas contas, nosso problema se resumiu a:
Precisamos calcular esse limite!
Quando , tanto o numerador como o denominador tendem para o infinito. Assim, podemos usar o teorema de L’hopital. Logo:
Portanto, temos que:
Voltando para o nosso valor esperado de , teremos:
Aeee, conseguimos! Essa aqui pesou no cálculo hein galera?!
Mas que bom que terminamos, espero vocês na próxima! Até lá 😉
Resposta
Letra A: