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Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P1 - 2023.1, Questão 3a

Calcule as derivadas

f ( x ) = ( a x 2 + b x + c x ) 1 / 3

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada de

f ( x ) = ( a x 2 + b x + c x ) 1 / 3

Usando as regras de derivação. Vamos revisar essa regras

Regra da constante:

s e   f ( x ) = c ;   c ∈ R

⇒ f ' ( x ) = 0

Regra do produto:

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Regra da razão:

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Regra do polinômio

s e   f ( x ) = x n ,   n ≠ 0

⇒ f ' ( x ) = n x n - 1

regra da cadeia

s e   f ( x ) = g ( h ( x ) )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

Passo 2

Vamos calcular a derivada de

f ( x ) = ( a x 2 + b x + c x ) 1 / 3

Note que a função é da forma

f ( x ) = g ( h ( x ) )

onde

h ( x ) = a x 2 + b x + c x

g ( x ) = x 1 / 3

Logo, pela regra da cadeia temos que

f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

= 1 3 ( a x 2 + b x + c x ) - 2 / 3 * h ' ( x )

Agora, vamos usar a regra da razão para calcularmos

h ' ( x )

h ' ( x ) = ( 2 a x + b ) x - a x 2 + b x + c x 2

Logo, nossa derivada é dada por

1 3 ( a x 2 + b x + c x ) - 2 / 3 * ( 2 a x + b ) x - a x 2 - b x - c x 2

= 1 3 ( a x 2 + b x + c x ) - 2 / 3 * a x 2   - c x 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 1 3 ( a x 2 + b x + c x ) - 2 / 3 * a x 2   - c x 2

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