UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 1.1e
Calcule as primitivas das funções abaixo:
e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a primitiva da função , que nada mais é do que a antiderivada dessa função, ou a integral. A definição mais formal é que uma função é denominada uma primitiva de em um intervalo se para todo nesse intervalo.
Então, temos sempre que pensar qual a função que derivada vai gerar essa função que nós queremos. E a primitiva mais geral vai ter sempre uma constante arbitrária sendo somada a essa função.
Então, vamos analisar a função e obter nossa primitiva.
Vamos lá!
Passo 2
Encontrar primitivas é basicamente encontrar o “inverso de uma derivação”. Então, vamos pensar: qual a função que quando derivada vai me dar a função tangente? Bom, não é uma resposta tão óbvia, então vamos pensar na definição da função tangente:
Agora repara que a função seno é a derivada da função cosseno, certo? Podemos usar fazendo uma substituição, chamando de . Assim:
Dessa forma, derivando , temos:
Então, nossa integral ficaria assim:
E a gente conhece a primitiva de , que é , porque a derivada de é , beleza? Assim, vamos ficar com:
Não pode esquecer da constante na integral indefinida.
Mas lá em cima, a gente disse que , então temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉