Seja f(x) = 3x + 2 . Calcule primeiro f'(2) e f'(0) e depois f'(x)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 3 x + 2

E depois pede:

Calcule primeiro f ' 2   e   f ' ( 0 ) e depois f ' ( x )

E agora, como fazer isso?

Através da definição de derivada!

Sabemos que a definição da derivada de uma função f ( x ) é dada pelo seguinte limite

f ' ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0

Então a ideia é trocar x 0 pelos valores dados e calcular a derivada! E no final, se queremos ainda uma expressão genérica para derivada então vamos usar essa versão do limite

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Bora lá!

Passo 2

Para a função

f x = 3 x + 2

A derivada em x 0 = 2 fica

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ f x - f x 0 x - 2 = lim x → 2 ⁡ 3 x + 2 - 3.2 + 2 x - 2

= lim x → 2 ⁡ 3 x + 2 - 8 x - 2 = lim x → 2 ⁡ 3 [ x - 2 ] x - 2 = 3

Beleza?

Agora para x 0 = 0

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f x 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ 3 x + 2 - 3 . 0 + 2 x - 0

lim x → 0 ⁡ 3 x x = 3

Tranquilo?

Passo 3

Como parte final vamos fazer de forma genérica

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 3 x + h + 2 - 3 x + 2 h = lim h → 0 ⁡ 3 x + 3 h + 2 - 3 x - 2 h

Simplificando temos

lim h → 0 ⁡ 3 h h = 3

Tá aí! Nossa derivada é

f ' x = 3

E é isso! Até a próxima!

Resposta

3

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