UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.2 – Questão 9
Seja uma função que satisfaz . Determine a versão mais geral possível para .
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pede para encontrarmos a forma mais geral possível de uma função . E nos dá a seguinte informação sobre ela:
Calma, não desespera! Na verdade, o que o problema quer é a primitiva dessa coisa! Mas estamos acostumados a encontrar a primitiva quando temos a derivada primeira, não é mesmo?
Para encontrar a primitiva de uma derivada terceira precisamos repetir o processo de achar a primitiva mais duas vezes! E uma observação importante: quando a gente tinha que achar a primitiva, tendo a primeira derivada, nós colocávamos um “” no final, pois essa seria a forma mais geral, certo? Afinal, derivada de constante é zero e ela não iria influenciar na derivada.
Mas e quando temos a terceira derivada? Bom, aí precisamos pensar em uma função cuja derivada terceira é zero (para não influenciar na derivada que temos)?
Um polinômio de grau 2!
Então agora ao invés de colocar aquele +C no final, você deverá colocar um , de forma que a derivada terceira dessa coisa aí seja zero!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos resgatar lá do enunciado a derivada terceira que foi dada:
Precisamos encontrar a primitiva dessa função. Mas lembrem-se: encontraremos a derivada segunda de ! E o que queremos é a própria ! Por isso é preciso repetir o processo de encontrar a primitiva mais duas vezes!
Beleza? Agora precisamos repetir mais 2x isso!
Passo 3
Agora nossa derivada é a segunda e queremos sua primitiva :
A função que dá origem a essa função derivada aí é:
Tudo bem até aqui?
Passo 4
Nossa missão agora é encontrar a primitiva de
E ela será (finalmente!) nossa !
Terminamos por aqui?
ainda não! Lembra que comentei lá no passo 1 sobre adicionar um polinômio de grau 2 como “constante”, pois a terceira derivada seria zero e essa sim seria a função mais geral? então, chegou a hora!
Agora sim! Essa é a função mais geral! Esse é nosso resultado!
E tem uma forma de conferir: derivando três vezes! Se estivermos corretos, encontraremos a derivada terceira dada no problema! Mas você pode parar por aqui! Vou fazer essa verificação no passo seguinte =)
Passo 5
Verificação: vamos derivar 3x a função que encontramos e verificar se ela é igual a função dada no enunciado
Derivando uma vez:
Derivar é mais automático né? Mas calma, vai ficar mais fácil com o passar do tempo! Derivando novamente:
E por fim, derivando a terceira vez:
E essa foi a função dada! Então estamos certos! E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?