Uma função tem derivada de segunda ordem
Encontre a expressão da , sabendo que seu gráfico contém o ponto e que em tal ponto a reta tangente é paralela à reta
Passo 1
De início, a gente já vê que trabalhamos com uma derivada de segunda ordem, de onde tiramos que esse é um problema com dois PVI’s. Vamos organizar isso tudo, se contém o ponto , significa que vale quando vale , ou seja:
Da mesma forma, se quando a reta tangente ao gráfico é paralela a , temos que a derivada nesse ponto valerá o mesmo que o coeficiente angular dessa reta, ou seja:
Esse é o problema que temos que resolver, por fim:
Passo 2
Assim, vamos pensar na função que quando derivada vai gerar essa . Nesse caso, temos um seno (cuidado com o fato de que ele tem um dentro, não só ) e um polinômio do primeiro grau.
Com isso, vamos escrever a função que geraria isso com um cosseno de mesmo argumento e um polinômio um grau acima, segundo grau:
Derivando:
Comparando com a derivada..
Teremos
Onde é uma constante qualquer.
Passo 3
Usando a condição da derivada em :
Teremos
Assim,
Passo 4
Assim, vamos pensar na função que quando derivada vai gerar essa . Nesse caso, temos um cosseno (cuidado, novamente, com o fato de que ele tem um dentro), um polinômio do segundo grau e um de grau zero (a constante ).
Com isso, vamos escrever a função que geraria isso com um seno de mesmo argumento e um polinômio um grau acima para cada um deles, terceiro e primeiro grau, respectivamente:
Derivando:
Comparamos com a :
Assim, as constantes e a função serão:
Onde é uma constante qualquer.
Passo 5
Usando a condição da derivada em :
Teremos
Assim, teremos finalmente: