Calcule as primitivas das funções abaixo:

d) p x = e 5 x + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a primitiva da função p ( x ) , que nada mais é do que a antiderivada dessa função, ou a integral. A definição mais formal é que uma função F é denominada uma primitiva de p em um intervalo se F ' x = p ( x ) para todo x nesse intervalo.

Então, temos sempre que pensar qual a função que derivada vai gerar essa função que nós queremos. E a primitiva mais geral vai ter sempre uma constante arbitrária C sendo somada a essa função.

Mas repare que em p ( x ) nós temos uma função composta, uma função exponencial e uma função polinomial, 5 x + 1 , no expoente. Quando isso acontece na derivação, nós usamos a Regra da Cadeia para derivar a função de fora aplicada na de dentro e multiplicar pela derivada da função de dentro. Mas e na primitiva?

Nesses casos, nós usamos uma integral por substituição, que vai nos permitir simplificar a expressão confusa, transformando a função interna em uma variável.

Então, vamos analisar a função p x = e 5 x + 1 e obter nossa primitiva.

Vamos lá!

Passo 2

Encontrar primitivas é basicamente encontrar o “inverso de uma derivação”. Então, vamos pensar na derivada da função exponencial, que é ela mesma. Então, a primitiva dessa função também é ela mesma. Mas precisamos levar em conta a função no expoente. Chamando essa função interna de u :

u = 5 x + 1

Tratando u como uma função implícita de x , vamos derivar essa expressão:

d u d x = 5 → d u = 5   d x

Isolando d x , temos:

1 5 d u = d x

Então, temos u = 5 x + 1 e 1 5 d u = d x . Substituindo isso na integral da função p x = e 5 x + 1 , temos:

∫ e 5 x + 1   d x = ∫ e u ∙ 1 5 d u

A gente pode colocar essa constante do lado de fora do sinal de integração e ficar com:

1 5 ∫ e u   d u

Agora, olha só, caímos numa primitiva simples da função exponencial, que a gente já sabem que é ela mesma. Então, temos:

1 5 ∫ e u   d u = 1 5 e u

Mas lá em cima, a gente disse que u = 5 x + 1 , então temos:

1 5 e 5 x + 1

Mas não pode esquecer da constante C , pra gente ter nossa primitiva mais geral:

1 5 e 5 x + 1 + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 5 e 5 x + 1 + C

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