Demonstre que
Mesmo que
Justifique sua resposta.
Passo 1
Repara que as duas expressões que a questão dá pra gente são super parecidas, vamos tentar achar uma relação entre elas. A primeira é essa aqui:
Vamos ao mesmo tempo somar e subtrair no numerador desse cara, vê se você concorda que não estamos mudando o valor da expressão:
Organizando pra aparecer um termo igual ao denominador:
Vamos quebrar isso em duas frações:
Ué, apareceu a outra expressão do enunciado, só que somada de . Chegamos então nessa relação maneiríssima entre as duas expressões do enunciado:
Passo 2
Vamos agora pegar essa relação em que chegamos e derivar dos dois lados:
Abrindo a derivada do lado direito:
Como derivada de constante é :
Opaaa reparou aonde nós chegamos? Ah e em momento nenhum usamos que , ou seja, essa relação entre as derivadas vale seeempre, mesmo quando essas expressões assumem valores diferentes. Então acabamos de demonstrar o que o enunciado nos pede.