UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 1.1c
Calcule as primitivas das funções abaixo:
c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a primitiva da função , que nada mais é do que a antiderivada dessa função, ou a integral. A definição mais formal é que uma função é denominada uma primitiva de em um intervalo se para todo nesse intervalo.
No caso de funções trigonométricas temos sempre que pensar qual a função que derivada vai gerar essa função que nós queremos. E a primitiva mais geral vai ter sempre uma constante arbitrária sendo somada a essa função.
Mas repare que em nós temos uma função composta, uma função seno e uma função no argumento. Quando isso acontece na derivação, nós usamos a Regra da Cadeia para derivar a função de fora aplicada na de dentro e multiplicar pela derivada da função de dentro. Mas e na primitiva?
Nesses casos, nós usamos uma integral por substituição, que vai nos permitir simplificar a expressão confusa, transformando a função interna em uma variável.
Então, vamos analisar a função e obter nossa primitiva.
Vamos lá!
Passo 2
Encontrar primitivas é basicamente encontrar o “inverso de uma derivação”. Então, vamos pensar nas funções trigonométricas e suas derivadas. Se a gente tiver , sua derivada será . Então, essa não será nossa primitiva.
Precisamos levar em conta a função dentro do argumento do seno. Então, vamos chamar essa função interna de :
Tratando como uma função implícita de , vamos derivar essa expressão:
Isolando , temos:
Então, temos e . Substituindo isso na integral da função , temos:
A gente pode colocar essa constante do lado de fora do sinal de integração e ficar com:
Agora, olha só, caímos numa primitiva simples. Agora vamos pensar, qual é a função que derivada vai dar . A gente sabe que a derivada do cosseno é menos seno, prestando atenção no sinal, então, a primitiva do seno vai ser menos cosseno, ou seja:
Mas lá em cima, a gente disse que , então temos:
Mas não pode esquecer da constante , pra gente ter nossa primitiva mais geral:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉