Utilize os exercícios 1,2 e 3 da lista de exercícios 2.9 complementar para encontrar uma primitiva para as funções abaixo

b) f(x) = arctg(x)

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

f x = a r c t g ( x ) e pediu para encontrarmos uma primitiva para ela

E o problema também deu uma dica: olhar a lista 2.9 (que fala sobre derivada de funções inversas, mais especificamente nos exercícios 1,2 e 3 da parte complementar). Mas por que olhar uma lista de derivadas? Porque uma primitiva é uma função cuja derivada é a função que temos.

f x = a r c t g ( x ) é: qual é a função que derivando vai dar o arco tangente??

E também precisamos relembrar o conceito de p r i m i t i v a   g e r a l : é uma família de funções cuja derivada é a mesma! Como derivada de constante é zero, ao trocarmos de constante trocamos de primitiva, mas não de derivada!

Então o problema pede ara encontrarmos uma primitiva de f x = a r c t g ( x ) .

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Obs.: (vamos chamar de F ( x ) a primitiva de f ( x ) )

Passo 2

Da lista que o professor fala, no exercício 2 temos que verificar a seguinte igualdade:

E se você for lá na lista 2.9 e verificar a resolução dela, vai ver que essa igualdade está correta!

Isso significa que a função F x = x   a r c t g x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 , quando derivada, dá a função f x = a r c t g x .

Então respondendo nossa pergunta do passo 1: a função primitiva F ( x ) cuja derivada é o arco tangente é

F x = x   a r c t g x - 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 )

e as outras primitivas? Basta adicionar o + C no final! (derivada de constante é zero, por isso a troca não influencia na derivada)

F x = x   a r c t g x - 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + C

Queremos uma primitiva apenas, então por simplicidade, podemos dizer que C = 0 :

F x = x   a r c t g x - 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 )

E é isso!

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

F x = x   a r c t g x - 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 )

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