UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.2 – Questão 3
Considere a função
- Encontre três primitivas diferentes para
- Encontre uma primitiva geral para
- Encontre uma primitiva para que satisfaz
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Vamos primeiro lembrar de alguns conceitos: primitiva é uma função que originou uma certa derivada. Por exemplo, a função dá origem à derivada de , então isso significa que é a primitiva de
Mas não é só que ao derivar vamos obter ! O polinômio , quando derivado, também resulta em (já que derivada de constante é zero)
Seguindo nos conceitos: aqui está o conceito de : é uma família de funções cuja derivada é a mesma! Como derivada de constante é zero, a família de primitivas para é
Onde é uma constante qualquer
E assim vamos encontrar a resposta da letra (b)!
E para a letra (c)? Bom, o problema pede a primitiva quando essa primitiva satisfaz a condição ! Então a partir da primitiva geral do item (b), vamos aplicar a condição dada e achar a constante .
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Letra (a): No nosso caso, , então uma função que dá origem a ela é
Porque se derivarmos essa função vamos obter:
Tranquilo até aqui?
uma segunda primitiva pode ser
E uma terceira
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Letra (b): agora o problema pede uma primitiva geral para . Como comentamos no passo 1, uma primitiva geral é uma família de primitivas cuja derivada é a mesma
E como encontramos 3 possíveis primitivas só trocando a constante final, podemos fazer isso trocando o número por no final:
E assim temos que a família de polinômios , apenas trocando o termo independente, fornece a mesma derivada .
Beleza?
Passo 4
Letra (c): por fim o problema pede para calcularmos uma primitiva em especial, uma que satisfaça a condição
Então, pegando a primitiva geral do passo anterior:
Agora precisamos que essa função satisfaça que , então basta substituir e e teremos uma equação para :
Pronto! A primitiva que dá a função () e que satisfaz é
Beleza?
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?