Seja f(x) = raiz(x, 5) . Calcule f'(x), f'(1), f'(-32)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x 5

E pede:

Calcule AS DERIVADAS f ' x ,   f ' 1 ,   f ' ( - 32 )

E agora, como fazer isso?

Através da derivada e da equação de uma reta! Você lembra disso?

Sabemos que a derivada de uma função polinomial A x n é

f ' = A n x n - 1

Então é só aplicar essa regra na função para achar a derivada! E se quisermos a derivada em algum ponto específico, é só substituir x pelo ponto!

beleza?

Bora lá!

Passo 2

Nossa função é

f x = x 5 = x 1 / 5

E aplicando a regra de derivação

f ' x = 1 5 x 1 5 - 1 = 1 5 x - 4 / 5

E organizando na forma de radical novamente

f ' x = 1 5 x 4 5

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos jogar nesse resultado os valores pedidos!

f ' x = 1 5 x 4 5

Nosso ponto x = 1

f ' 1 = 1 5 1 4 5 = 1 5

E no ponto x = - 32

f ' - 32 = 1 5 ( - 32 ) 4 5 = 1 5 2 20 1 / 5

Arrumando temos

f ' - 32 = 1 80

E é isso! Até a próxima!

Resposta

f ' x = 1 5 x 4 5

f ' - 32 = 1 80

f ' 1 = 1 5

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