Um bloco de 2 Kg está suspenso por uma mola e oscila verticalmente. Seu movimento é descrito pela equação . Observa-se que a amplitude do movimento se reduz a de seu valor inicial após 2 oscilações. Considerando que estas duas oscilações levam 2 s, determine:
a) O valor numérico dos coeficientes b e c e da constante elástica da mola.
b) Resolva a equação diferencial encontrando y(t) sabendo que o sistema inicia seu movimento na posição de equilíbrio e com velocidade = -12 m/s.
c) Considere agora que este oscilador seja acoplado à uma força externa e passe a oscilar conforme a equação . Encontre a frequência para a qual a amplitude da oscilação seja máxima e a amplitude do movimento para esta frequência. Considere que o tempo durante o qual o sistema está operando é grande o suficiente para que a parte homogênea já tenha decaído.
Passo 1
a) Como ele falou que tem oscilações, o MHA necessariamente vai ser no regime subcrítico!
Como ele disse que duas oscilações levam 2 segundos, uma oscilação leva 1segundo. Então:
Como:
Passo 2
O regime subcrítico tem solução:
Podemos escrever:
E:
Após duas oscilações () a amplitude se reduz à da inicial. Então:
Então:
E o coeficiente b:
O coeficiente c é:
Show, precisamos achar . Vamos usar a fórmula:
Passo 3
Como:
Passo 4
b) Já sabemos que:
Então:
No início:
Então:
Passo 5
c) A equação que ele deu foi:
E ele disse que o tempo é grande o suficiente pra parte homogênea já ter decaído. Então a solução vai ser só a particular! Que é:
Em que:
Show! E ele quer a frequência que dá a amplitude máxima! Então vamos derivar.
Aqui eu vou ter que usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente pra derivadas.
O numerador da fração tem que ser zero!
Mais uma vez, o numerador tem que ser zero:
Então:
Passo 6
Vamos achar :
E calcular o valor de pra essa frequência:
Resposta
a) , e
b)
c)