Considere um bloco de m = 0, 5 kg, preso a uma mola de constante k = 50 N/m. O bloco pode movimentar-se sobre uma superfície horizontal em que um líquido viscoso foi derramado, dando origem a uma força dissipativa proporcional à velocidade, com constante . Uma força externa é aplicada ao bloco, onde e é uma freqüência angular sintonizável.
a) Calcule a potência média transferida pela força externa ao bloco, na situação estacionária, em função de .
b) Encontre a expressão exata da frequência em que essa potência média é máxima. Calcule o valor desta frequência, justificando as aproximações.
c) Suponha agora que a força externa é desligada, qual será a taxa de dissipação de energia do sistema?
Passo 1
a) Aqui vamos usar a fórmula da potência média que ele deu no formulário:
Como ele falou que é a situação estacionária (regime estacionário) só o que vai importar é a solução particular. Então:
E:
Como ele disse que o valor médio de é ½ (no formulário) então:
E então:
Lembrando que:
Em que:
Então a potência média vai ser:
Passo 2
b) Queremos a frequência quando a amplitude é máxima! E o que fazemos pra achar um ponto de máximo? Isso mesmo engenheirx, derivamos. Então:
Pela regra do quociente:
O cara de cima tem que ser zero, né. Então:
Ou sejaaaaaa:
E a potência média máxima vai ser:
Passo 3
c) Lembrando lá da solução do MHA, sem força externa, a solução da equação auxiliar envolve um tal que:
Ou seja, o amortecimento é subcrítico.
A solução do MHA para amortecimento subcrítico é:
Então:
E como a potência dissipada é:
Vamos tomar a média!
E trocando na potência:
Como:
Então:
Que é igual à taxa de dissipação.
Resposta
a)
b)
c)